Teorema del coseno e teorema dei seni - Trigonometria

[By Simy]

Ciao a tutti, dovrei calcolare il lato c e gli angoli alfa,beta e gamma di un triangolo la cui area misura 25/2(3-rq3), a=10, b=5(rq3 - 1). Potete darmi una mano? Dovrei utilizzare il teorema del coseno per calcolare il lato c, ma non so se il risultato che ottengo sia giusto.

[AlexZan]

Ciao,
sei sicura di dover utilizzare proprio il teorema del coseno per la risoluzione? (perché nel testo non viene fornito l'angolo compreso fra a e b)
Sarebbe più comodo determinare l'altezza del triangolo relativa a b per poi sfruttare il teorema di Pitagora per ottenere c.
Procedendo così:

[math]h_b=\frac{2\cdot A}{b}=\frac{2\cdot 25\sqrt{3}\cdot (\sqrt{3}-1)}{2\cdot 5(\sqrt{3}-1)}=5\sqrt{3}[/math]

e quindi applicare Pitagora..

[mc2]

Se gamma e` l'angolo compreso tra i lati a e b, si puo` usare la formula dell'area per calcolare gamma:

[math]S=\frac{1}{2}ab\sin\gamma\\
\sin\gamma=\frac{2S}{ab}=\frac{2\frac{25}{2}(3-\sqrt{3})}
{10\cdot5(\sqrt{3}-1)}=\frac{\sqrt{3}}{2}
[/math]

quindi ci sono due valori possibili per gamma:

[math]\gamma=\frac{\pi}{3}[/math]

oppure

[math]\gamma=\frac{2}{3}\pi
[/math]

(se il testo del problema non specifica nulla sul tipo di triangolo, devi tenere entrambe le soluzioni)


Ora puoi calcolare il lato c con il teorema del coseno:

[math]c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}[/math]

e ovviamente troverai due risultati diversi a seconda del valore di gamma che usi.

P.es. con gamma=60 gradi:

[math]c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}=
\sqrt{100+25(4-2\sqrt{3})-2\cdot 10\cdot 5(\sqrt{3}-1)\frac{1}{2}}\\
=\sqrt{250-100\sqrt{3}}=5\sqrt{10-4\sqrt{3}}
[/math]

Se invece usi gamma=120 gradi:

[math]c=\sqrt{150}=5\sqrt{6}[/math]