Teorema del coseno (63557)

[DonaPiccola]

Ciao! Mi potete aiutare per un compito di casa che ho in matematica? Se e' possibile al piu' presto la risposta. Grazie Determinare gli elementi incogniti del triangolo ABC sapendo che: AB= 3a, AC=2a, tgA = 2radice di 2. Detto I l'incentro, determinare le distanze di I dai tre vertici del triangolo.

[BIT5]

Ricordando le formule di trasformazione

[math] \cos x = \frac{1}{\pm \sqrt{1+ \tan^2 x} [/math]

Ricaviamo

[math] \cos x = \frac{1}{\pm \sqrt9} = \pm \frac13 [/math]

Dal momento che A e' l'angolo di un triangoloo esso sara' compreso tra 0 e 180.

I valori trigonometrici degli angoli compresi tra 0 e 180, osservano queste caratteristiche:

Seno : sempre positivo tra 0 e 180
coseno : positivo tra 0 e 90, negativo tra 90 e 180

Di conseguenza, la tangente (rapporto di seno e coseno) sara' positiva tra 0 e 90, e negativa tra 90 e 180.

E siccome la tangente proposta dal problema e' positiva, l'angolo A sara' compreso tra 0 e 90 e pertanto il coseno sara' positivo.

Pertanto dei due valori trovati algebricamente, escluderemo il valore negativo del coseno (che per restituire un valore di tangente positivo, necessiterebbe di un seno negativo che troviamo per angoli tra 180 e 360, non ammessi del triangolo)

Per il teorema di Carnot, possiamo dunque trovare il terzo lato:

[math] \bar{CB}= \sqrt{\bar{AB}^2+ \bar{AC}^2-2 \bar{AB} \bar{AC} \cos \alpha} [/math]

e dunque

[math] \bar{CB}= \sqrt{9a^2+4a^2-2(3a)(2a)\(\frac13\)}= \sqrt{13a^2-4a^2}=3a [/math]

Il triangolo e' isoscele, pertanto di base AC.

Pertanto anche l'angolo in C avra' medesimo valore di tangente e di coseno.

Ora sempre applicando il teorema di Carnot, puoi ricavare il coseno del terzo angolo..