Teorema de l'Hopital
Salve a tutti,
circa questo esercizio:
$ lim_(x -> \pi/2) (sin x-1)/cos^2x $
Ho risolto così:
$ f(x) $ e $g(x) $ sono continue in $R$;
$ f(x) $ e $g(x) $ sono derivabili in $R$;
$g(x) \ne 0 $ per $x \ne \pi/2$ che però non va bene, ma andando poi a fare il limite del rapporto delle derivate il termine che mi faceva $0$ ($cosx$) lo semplifico e quindi come risultato mi viene fuori $-1/2$.
Però non capisco. La condizione imposta dal teorema non è presente, ma allora non si dovrebbe nemmeno continuare con l'esercizio. Allora sarebbe giusto dire che se, nonostante la condizione non fosse superata, si va avanti per vedere se il termine "ostico" si riesce ad eliminare??
Grazie.
circa questo esercizio:
$ lim_(x -> \pi/2) (sin x-1)/cos^2x $
Ho risolto così:
$ f(x) $ e $g(x) $ sono continue in $R$;
$ f(x) $ e $g(x) $ sono derivabili in $R$;
$g(x) \ne 0 $ per $x \ne \pi/2$ che però non va bene, ma andando poi a fare il limite del rapporto delle derivate il termine che mi faceva $0$ ($cosx$) lo semplifico e quindi come risultato mi viene fuori $-1/2$.
Però non capisco. La condizione imposta dal teorema non è presente, ma allora non si dovrebbe nemmeno continuare con l'esercizio. Allora sarebbe giusto dire che se, nonostante la condizione non fosse superata, si va avanti per vedere se il termine "ostico" si riesce ad eliminare??
Grazie.
Risposte
Un consiglio: rivedi con attenzione il teorema di De L'Hospital.
Le due funzioni devono essere continue e derivabili, e, la derivata di quella al denominatore deve essere diversa da zero in un intorno del punto cui tende la x.
Le due funzioni devono essere continue e derivabili, e, la derivata di quella al denominatore deve essere diversa da zero in un intorno del punto cui tende la x.
Stai dicendo che la derivata di $g(x)$ si annulla solo per $x=\pi/2$, ma visto che il limite tende a tale valore vuol dire che comunque in un intorno di tale valore la derivata non si annulla giusto?
La derivata di $ g(x) $ si annulla solo per $ x=\pi/2 $ e non in un suo intorno. Quindi le condizioni del teorema sono soddisfatte.
Ma scusa allora per qualsiasi valore a cui tende la x, se la derivata di g si annulla per tale valore, posso sempre dire che in quel punto esiste perchè tanto il limite TENDE non E'.. non capisco allora perchè serva la condizione che g debba essere diverso a zero. Anche se fosse, il limite magari esisterebbe perchè comunque il limite di un numero diviso zero fa infinito.. cosa mi sfugge??
Qual è l'enunciato del teorema?
$g'(x)\ne0$ in $I - {c}$.
Cioè la derivata deve essere non nulla nell'intorno eccetto che in c. Vuol dire che in c si annulla ma non ci importa perchè al teorema "interessa" solo l'intorno. Interpretato correttamente??
Cioè la derivata deve essere non nulla nell'intorno eccetto che in c. Vuol dire che in c si annulla ma non ci importa perchè al teorema "interessa" solo l'intorno. Interpretato correttamente??
Sì,interpreti correttamente. Preciso semplicemente che in c si può annullare oppure no, non che deve necessariamente annullarsi.
Si si ho solo scritto male. Quindi è semplicemente una precisazione che c'è nel teorema perchè per qualsiasi numero comunque si può fare il limite. No? Voglio dire: a cosa serve l'averlo precisato?
Il teorema si può applicare solo se sono soddisfatte le condizioni di partenza. La tua preoccupazione deve essere quella di verificare che queste siano soddisfatte, dove poi tende la x non ha alcuna importanza sempre, però, che sia nel dominio.
Per esempio il teorema non varrebbe se avessi:
$ lim_(x -> 1) (ln(x-1))/x $
Giusto? Perchè comunque il Dominio è $x>1$. Intendi questo?
$ lim_(x -> 1) (ln(x-1))/x $
Giusto? Perchè comunque il Dominio è $x>1$. Intendi questo?
No.
Non sono soddisfatte le ipotesi. Non è nella forma $0/0$ oppure $oo/oo$.
Il limite, per essere precisi, dovrebbe essere per $x->1^+$.
Non sono soddisfatte le ipotesi. Non è nella forma $0/0$ oppure $oo/oo$.
Il limite, per essere precisi, dovrebbe essere per $x->1^+$.
Ok bene ti ringrazio molto!
"davicos":
Salve a tutti,
circa questo esercizio:
$ lim_(x -> \pi/2) (sin x-1)/cos^2x $
Ho risolto così:
$ f(x) $ e $g(x) $ sono continue in $R$;
$ f(x) $ e $g(x) $ sono derivabili in $R$;
$g(x) \ne 0 $ per $x \ne \pi/2$ che però non va bene, ma andando poi a fare il limite del rapporto delle derivate il termine che mi faceva $0$ ($cosx$) lo semplifico e quindi come risultato mi viene fuori $-1/2$.
Però non capisco. La condizione imposta dal teorema non è presente, ma allora non si dovrebbe nemmeno continuare con l'esercizio. Allora sarebbe giusto dire che se, nonostante la condizione non fosse superata, si va avanti per vedere se il termine "ostico" si riesce ad eliminare??
Grazie.
Per quanto riguarda il limite, non credo sia il caso di scomodare il marchese De L'Hopital:
\[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \]
Quindi il limite diventa
\[ - \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} {\frac{1- \sin (x)}{1 - \sin^2(x)}} = - \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} {\frac{1}{1 + \sin (x)}} = - \frac{1}{2} \]
L'esercizio è presente negli esercizi su de l'Hopital nel libro. Ma ora mi fai venire un dubbio: de l'Hopital bisogna usarlo solo quando ho le forme indeterminate altrimenti c'è il rischio di commettere errori. In questo caso i risultati sono uguali.. ma come faccio a sapere che, usato de l'Hopital il risultato è corretto in forme non indeterminate??
Messo nella forma iniziale, il limite dà una forma indeterminata. Quindi puoi usare De L'Hopital. Chiaramente, una volta semplificato come ti ho fatto vedere non è più forma indeterminata, quindi non puoi usarlo. Puoi fare in entrambi i modi. Se ti si richiedeva esplicitamente di usare De L'Hopital, allora usalo. Volevo soltanto farti notare che il limite può essere risolto anche senza 
Si, l'esercizio lo richiede, ma buono a sapersi comunque 
Grazie!
Grazie!
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