Taylor

[Bad90]

Ma cosa è questa storia dell' o piccolo???

Se mi viene chiesto di:

Verificare che, per il simbolo "o piccolo", valgono le proprietà $(m,n inN)$

$ o(x^n) + o(x^n)=o(x^n) $

Come posso rispondere??

[CaMpIoN]

Nelle serie di Taylor pare che sia il resto di Peano

[gugo82]

@ Bad90: Tutto dipende dalla definizione che hai del simbolo di Landau \(\text{o}\)...

[Guido Rocco]

Date due generiche funzioni $ f(x) $ e $ g(x) $ definite in un intorno di $ c in R $ , si dice che $ f(x) $ $ = o(g(x)) $ per $ x|-> c $ se, e soltanto se, $ g(x) $ è infinitesimo per $x|->c $ e $ lim_(x -> c) (f(x)) / (g(x)) =0 $ . Tornando all'esercizio, se consideriamo $ f(x) $ e $ g(x) $ due $o(x^n)$, bisogna dimostrare che anche la loro somma è un $ o(x^n) $. Io utilizzerei il teorema sul limite di una somma di funzioni: il comportamento asintotico non varia se effettui una combinazione lineare delle due funzioni con coefficienti non nulli.

[Bad90]

Scusatemi, ma essendo io un praticone, il mio problema è capire bene come ci si muove con questo o piccolo,

[Guido Rocco]

Praticamente, nel caso x tenda a 0, con il simbolo $ o(x^n)$ indichiamo una funzione che tende a 0 più velocemente di $x^n$ (in gergo si dice che è un "infinitesimo di ordine superiore"). Se non sono chiaro faccio qualche esempio.

[Bad90]

Esercizio 1

Chiedo aiuto a voi per il seguente esercizio già risolto e che non sto capendo....

Verificare che, per $x->0$, vale lo sviluppo:

$ 1/(1+e^x) = 1/2 - x/4 +o(x^2) $

Non sto capendo come arrivare alla conclusione...

Io so che lo sviluppo di $e^x$ è il seguente:

$ e^x = 1+x+x^2/2+o(x^2) $

So che lo sviluppo di $1/(1+x)$ è il seguente:

$ 1/(1+x) = 1-x+x^2+o(x^2) $

Come devo fare per dimostrare quanto richiesto???

Ho pensato di cominciare nel seguente modo:

$ 1/(1+e^x ) = 1-(1+x+x^2/2)+(1+x+x^2/2)^2+o(x^2) $




AIUTOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Bad90]

Esercizio 2

Ho risolto il seguente limite, utilizzando Taylor:

$ lim_(x -> 0)(cosh^2 x -1 - x^2)/(x^4) $

Il testo mi dice che deve essere uguale a $1/3$, ma sinceramente non sto capendo se possa essere vorretto il mio procedimento in quanto io arrivo a $1/4$. Ecco cosa ho fatto:

$cosh^2 x = [1 + x^2/2 + x^4/24 + o(x^4)]^2$

Ciò che mi interessa è di grado $4$ e quindi posso limitarmi al secondo addendo in questo modo:

$cosh^2 x = [1 + x^2/2 + o(x^2)]^2$

Sviluppo il quadrato:

$cosh^2 x = [1 + x^2/2 + o(x^2)]^2 = 1 + x^2 +x^4/4 + o(x^4)$

Il limite sarà:

$ lim_(x -> 0)(1 + x^2 +x^4/4 + o(x^4) -1 - x^2)/(x^4) $

$ lim_(x -> 0)( x^4/4 + o(x^4) )/(x^4) = 1/4 $

Come potrà mai essere $1/3$

[giammaria2]

Ti interessa fino al grado 4, quindi non puoi limitarti al secondo addendo:
$cosh^2x=[1+x^2/2+x^4/24+o(x^4)]^2=1+x^4/4+x^2+x^4/12+o(x^4)=1+x^2+(3+1)/12x^4+o(x^4)$
eccetera.

[Bad90]

Esercizio 3
Sono arrivato a risolvere il seguente esercizio:

Calcolare il limite di successione:

$ lim_(x -> +oo) n^2[(1+e^(1/n))^-1 -(2n-1)/(4n)] $

Vorrei capire prima il perchè lo chiama successione?

Poi vedrò di fare i calcoli e spero di farli bene, perchè quando ho i numeri, è meglio, ma quando ho questi simboli $n....$, finisco con il fare un casino!

Non so se ho impostato correttamente la soluzione della traccia, ma se non erro, si inizia in questo modo:

$ lim_(x -> +oo) n^2[(1/2)*(1)/(1+(e^(1/n) -1)/2) -(2n-1)/(4n)] $

Ma credetemi, io non so proprio come continuare! Il testo mi da il seguente risultato:

$(1+e^(1/n))^-1 = 1/2 - 1/(4n) + o(1/n^2) = (2n - 1)/4n + o(1/n^2)$

Che io sinceramente non sto proprio capendo!

AIUTOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[giammaria2]

La chiama successione perché per tradizione la lettera $n$ viene usata per indicare i numeri interi; potremmo indicare con $a_n$ ciò che è scritto dopo il simbolo del limite.
Il tuo inizio è giusto; per ragionare comodamente pongo $x=1/n$ ed li limite diventa
$lim_(x->0)1/x^2[1/2*1/(1+(e^x-1)/2)-(2/x-1)/(4/x)]=$

$=lim_(x->0)1/x^2{1/2*[1-1/2(e^x-1)+1/4(e^x-1)^2+o(x^2)]-(2-x)/4]}=...$

[Bad90]

"giammaria":...per ragionare comodamente pongo $x=1/n$ ed li limite diventa

Ma questi artifici benefici, , come fanno a venirti in mente?
Insomma, vorrei che venissero in mente anche a me!?!!??!

[giammaria2]

E' molto semplice: l'uso della serie di Taylor è comodo per $x->0$, quindi faccio la sostituzione necessaria per ottenerlo. In questo caso c'era anche $e^(1/n)$ che dava qualche brivido e suggeriva di semplificarsi il lavoro con $1/n=x$.

[Bad90]

Ho risolto il seguentte limite con Tylor, solo che io ho ottenuto un riusultato $x=1/2$, mentre il testo ha ottenuto un risultato $2/3$, in sostamza, direi che io
ho ottenuto un risultsto più preciso di quello che ha ottenuto il testo, solo che mi chiedo se è un errore il fatto che ho ottenuto il mio risultato.
Il limite è $lim_(x->0) (sinx - cosx + 1)/(2x+x^2+1-(e^x-1)/2)$
Penso proprio che la differenza con ciò che ho fatto io e ciò che ha fatto il testo è perchè ho trasformato subito $(e^x-1)/2=$, scrivendo direttamente il limite iniziale in questo
modo $lim_(x->0) (sinx - cosx + 1)/(2x+x^2+1-1) = lim_(x->0) (sinx - cosx + 1)/(2x+x^2)$, si può fare????
Se faccio così, evito rogne e calcoli nel denominatore, perchè non devo considerare $e^x$ e alla fine ottengo il mio risultato, solo che chiedo a voi se è possibile fare questo oppure devo svolgere tutti i
calcoli obbligatoriamente! Cosa ne dite?????

[giammaria2]

Baso la mia risposa sull'ipotesi che ci sia un errore di digitazione e che a denominatore ci fosse $(e^x-1)/x$.
Sbagli perché trascuri un infinitesimo di primo grado: infatti
$(e^x-1)/x=1/x(1+x+x^2/2+...-1)=1+x/2+...$
e quindi
$D=2x+x^2+1-(1+x/2+...)=3/2x+...$

[Bad90]

Ma se in un limite con Taylor ho la seguente funzione $e^(x^4)$, come faccio a utilizzare uno sviluppo di Taylor?

Io sulla tavola degli sviluppi ho:

$e^(x^2) = 1+x^2 +x^4/2+......$

Dite che va bene se faccio un cambio di variabile $x^4=t$, comincio poi a scrivere lo sviluppo di Taylor in questo modo:

$e^(t) = 1+t^2 +(t^4)/2+......$

HELPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP!

Non riesco a fare un cambio di variabile!!!!!

Poi non capisco perchè con molta semplicità, nel limite, non scrive tutto lo sviluppo della tavola ti Taylor, dicendo che $e^(x^4)-1~ x^4$, e poi nella risoluzione del limite, scrive direttamente l'infinitesimo di grado $x^4$.

Ecco il mite qual'è:

$lim_(x->0) ((sinhx)^2-(sinx)^2)/(e^(x^4)-1)$

Io penso proprio che lui abbia utilizzato il seguente sviluppo di Taylor:

$e^x = 1+x +x^2/2+......$

Poi con un cambio di variabile $t=x^4$, riporta il seguente:

$e^t - 1= t +t^2/2+......$

Poi sostituisce ancora e arriva giustamente a :

$e^(x^4) - 1= x^4 +x^8/2+......$


VERO????????????????????

[giammaria2]

VERO!!!!!!!!!!!!!!!!

[Bad90]

Ok! Ti ringrazio!