Tavola trigonometrica
Salve a tutti
...come al solito cado sulle cose più semplici.
Stavo guardando un esercizio e non ricordavo per quali angoli fosse valida la funzione $senx<\frac{1}{sqrt(2)}$; dopo una ricerca veloce su wikipedia ho visto che $sin\frac{\pi}{4}=\frac{sqrt(2)}{2}$ (che è la stessa cosa).
Quello che non ho trovato è un procedimento logico per arrivarci, o forse non l'ho visto. L'unico spunto che ho trovato è che, avendo a che fare con una circonferenza unitaria, il congiungimento dei punti equivalenti agli angoli $0$ e $\frac{\pi}{2}$ è $sqrt(2)$; partendo da qui e tramite tutta una serie di ragionamenti geometrici sono arrivato a dimostrare che il lato del quadrato costruito tra l'intersezione del raggio avente angolo $\frac{\pi}{4}$ e la circonferenza con le proiezioni di questo punto sugli assi cartesiani (in poche parole seno e coseno) è uguale alla metà della diagonale e quindi che $sin\frac{\pi}{4}=\frac{sqrt(2)}{2}$...
...ma non esiste un modo più semplice!?
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Admin: appunti di trigonometria
...come al solito cado sulle cose più semplici.
Stavo guardando un esercizio e non ricordavo per quali angoli fosse valida la funzione $senx<\frac{1}{sqrt(2)}$; dopo una ricerca veloce su wikipedia ho visto che $sin\frac{\pi}{4}=\frac{sqrt(2)}{2}$ (che è la stessa cosa).
Quello che non ho trovato è un procedimento logico per arrivarci, o forse non l'ho visto. L'unico spunto che ho trovato è che, avendo a che fare con una circonferenza unitaria, il congiungimento dei punti equivalenti agli angoli $0$ e $\frac{\pi}{2}$ è $sqrt(2)$; partendo da qui e tramite tutta una serie di ragionamenti geometrici sono arrivato a dimostrare che il lato del quadrato costruito tra l'intersezione del raggio avente angolo $\frac{\pi}{4}$ e la circonferenza con le proiezioni di questo punto sugli assi cartesiani (in poche parole seno e coseno) è uguale alla metà della diagonale e quindi che $sin\frac{\pi}{4}=\frac{sqrt(2)}{2}$...
...ma non esiste un modo più semplice!?
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Admin: appunti di trigonometria
Risposte
Prima di tutto, edita il messaggio, perchè così è illeggibile 
Secondo me, per risolvere il tuo dubbio, ti conviene procurarti un libro di matematica per le superiori (meglio da liceo scientifico), dove trovi questi argomenti trattati in maniera semplice ma completa.
Generalizzando, posso dirti che per risolvere semplici disequazioni goniometriche (p.es. $cosx<1/2$, $tanx>1$) si ragiona sulla cosiddetta circonferenza goniometrica (prova a fare una ricerca su Google, dovresti trovare materiale a bizzeffe).
Secondo me, per risolvere il tuo dubbio, ti conviene procurarti un libro di matematica per le superiori (meglio da liceo scientifico), dove trovi questi argomenti trattati in maniera semplice ma completa.
Generalizzando, posso dirti che per risolvere semplici disequazioni goniometriche (p.es. $cosx<1/2$, $tanx>1$) si ragiona sulla cosiddetta circonferenza goniometrica (prova a fare una ricerca su Google, dovresti trovare materiale a bizzeffe).
Oops! Ho postato e sono scappato, non ho avuto il tempo di accorgermi dell'errore!!
Ho trovato la risposta: un raggio angolato a 45° è la diagonale di un quadrato... banalmente la diagonale di un quadrato si ottiene moltiplicando il lato per $sqrt(2)$. Sapendo che la diagonale è il raggio e che quindi è 1, allora il lato (cioè seno e coseno) è $\frac{1}{sqrt(2)}.
Grazie per il suggerimento!
Ho trovato la risposta: un raggio angolato a 45° è la diagonale di un quadrato... banalmente la diagonale di un quadrato si ottiene moltiplicando il lato per $sqrt(2)$. Sapendo che la diagonale è il raggio e che quindi è 1, allora il lato (cioè seno e coseno) è $\frac{1}{sqrt(2)}.
Grazie per il suggerimento!
quello che dici sulla diagonale del quadrato è il procedimento più semplice per ricordare valori particolari. se invece ti serve un metodo generale per risolvere disequazioni goniometriche elementari (o anche altre disequazioni dopo averle ricondotte a forma elementare), devi necessariamente, almeno in via orientativa, aver presente la circonferenza goniometrica. pensa alla tipologia scritta da te (le altre si possono affrontare in maniera analoga):
$senx < 1/(sqrt(2))$. anche se non sai che è $pi/4$ un valore che ti serve, quello te lo dà la calcolatrice facendo $sen^(-1)$. però devi tener presente tre cose:
1. il seno corrisponde all'ordinata del secondo estremo dell'arco ... "blablabla"
2. angoli supplementari hanno lo stesso valore del seno
3. il seno è una funzione periodica di periodo $2pi$
allora se la calcolatrice ti restituisce il valore $(pi)/4$, l'altro valore limite lo trovi facendo $pi-pi/4=3/4 pi$
prendi la retta orizzontale $y=1/(sqrt(2))$ e ti chiedi: in quale semipiano le ordinate sono minori di $1/(sqrt(2))$?
dunque, poiché il verso positivo per la misura degli angoli è quello antiorario, per muoverti sulla circonferenza goniometrica in senso antiorario ed incontrare tutti i punti al di sotto di questa retta, devi partire da $3/4 pi$, per poi arrivare a $2pi+1/4 pi=9/4 pi$ coinvolgendo un pezzo del secondo giro. se non vuoi, e di solito non si fa, si toglie $2pi$ e si parte dal primo giro negativo, in particolare da $3/4 pi - 2pi =-5/4 pi$ per arrivare a $1/4 pi$.
tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione è data da:
$-5/4 pi +2kpi < x < 1/4 pi +2kpi$, dove $k in ZZ$.
spero di essere stata chiara ed esauriente.
se è così, prova a rifare il ragionamento con un'altra tipologia di diserquazione goniometrica elementare. ciao.
$senx < 1/(sqrt(2))$. anche se non sai che è $pi/4$ un valore che ti serve, quello te lo dà la calcolatrice facendo $sen^(-1)$. però devi tener presente tre cose:
1. il seno corrisponde all'ordinata del secondo estremo dell'arco ... "blablabla"
2. angoli supplementari hanno lo stesso valore del seno
3. il seno è una funzione periodica di periodo $2pi$
allora se la calcolatrice ti restituisce il valore $(pi)/4$, l'altro valore limite lo trovi facendo $pi-pi/4=3/4 pi$
prendi la retta orizzontale $y=1/(sqrt(2))$ e ti chiedi: in quale semipiano le ordinate sono minori di $1/(sqrt(2))$?
dunque, poiché il verso positivo per la misura degli angoli è quello antiorario, per muoverti sulla circonferenza goniometrica in senso antiorario ed incontrare tutti i punti al di sotto di questa retta, devi partire da $3/4 pi$, per poi arrivare a $2pi+1/4 pi=9/4 pi$ coinvolgendo un pezzo del secondo giro. se non vuoi, e di solito non si fa, si toglie $2pi$ e si parte dal primo giro negativo, in particolare da $3/4 pi - 2pi =-5/4 pi$ per arrivare a $1/4 pi$.
tenendo conto della periodicità del seno, la soluzione è data da:
$-5/4 pi +2kpi < x < 1/4 pi +2kpi$, dove $k in ZZ$.
spero di essere stata chiara ed esauriente.
se è così, prova a rifare il ragionamento con un'altra tipologia di diserquazione goniometrica elementare. ciao.
Grazie dell'ulteriore spiegazione. In realtà l'esercizio è un po' più complesso:
Trovare il minimo dell'insieme $\{2(tanx)^2-2tanx : sinx<\frac{1}{\sqrt2}}$
Dunque la prima cosa che mi sono riproposto di trovare è il dominio di $2(tanx)^2-2tanx$.
A questo punto è abbastanza chiaro che la funzione esiste per $-\frac{5}{4}\pi
A questo punto la traccia dell'esercizio prosegue con una proposizione che non mi è affatto chiara:
"Poiché l'unione di questi due intervalli va da $-\infty$ a $+\infty$, ponendo $t=tanx$ quello che dobbiamo trovare è il minimo di una parabola: $\{2t^2-2t : t in (-\infty,+\infty)}$ che è ottenuto per $t=\frac{1}{2}$ e vale $-\frac{1}{2}$."
Quel "poiché" all'inizio mi destabilizza; mi sembra di capire che se fosse stato altrimenti si sarebbe dovuto procedere in maniera diversa, ma non so come. Inoltre non capisco proprio il risultato... ok, il minimo è il maggiore dei minoranti, ma 1/2 da dove salta fuori...
Trovare il minimo dell'insieme $\{2(tanx)^2-2tanx : sinx<\frac{1}{\sqrt2}}$
Dunque la prima cosa che mi sono riproposto di trovare è il dominio di $2(tanx)^2-2tanx$.
A questo punto è abbastanza chiaro che la funzione esiste per $-\frac{5}{4}\pi
A questo punto la traccia dell'esercizio prosegue con una proposizione che non mi è affatto chiara:
"Poiché l'unione di questi due intervalli va da $-\infty$ a $+\infty$, ponendo $t=tanx$ quello che dobbiamo trovare è il minimo di una parabola: $\{2t^2-2t : t in (-\infty,+\infty)}$ che è ottenuto per $t=\frac{1}{2}$ e vale $-\frac{1}{2}$."
Quel "poiché" all'inizio mi destabilizza; mi sembra di capire che se fosse stato altrimenti si sarebbe dovuto procedere in maniera diversa, ma non so come. Inoltre non capisco proprio il risultato... ok, il minimo è il maggiore dei minoranti, ma 1/2 da dove salta fuori...
se poni t=tan(x) $t in (-oo, 1)uu(1,+oo)=(-oo,+oo)$
[questo penso voglia intendere..]
poi se scrivi $y=2t^2-2t$ hai una parabola con vertice di "ascissa" $t=1/2$ (-b/2a ti torna?)
quindi il massimo della funzione si ha per tan x=1/2
[se vuoi riordinare, ti posso dire che quello che hai scritto su è OK, ma ti è sfuggito un - davanti a pi/4]
ora devo proprio andare. ho un collegio docenti fra un'oretta, spero di non fare troppo tardi. a questa sera! ciao.
[questo penso voglia intendere..]
poi se scrivi $y=2t^2-2t$ hai una parabola con vertice di "ascissa" $t=1/2$ (-b/2a ti torna?)
quindi il massimo della funzione si ha per tan x=1/2
[se vuoi riordinare, ti posso dire che quello che hai scritto su è OK, ma ti è sfuggito un - davanti a pi/4]
ora devo proprio andare. ho un collegio docenti fra un'oretta, spero di non fare troppo tardi. a questa sera! ciao.
uh... giusto... io facevo -b/a...
...e a questo punto le mie lacune in trigonometria escono tutte fuori: non capisco perché per tanx = 1/2, il minimo è -1/2
...e a questo punto le mie lacune in trigonometria escono tutte fuori: non capisco perché per tanx = 1/2, il minimo è -1/2
Molto semplicemente perchè se poni $tanx=1/2$ in $2(tanx)^2-2tanx$ ottieni $2*(1/2)^2-2*1/2$, cioè proprio $-1/2$.
...perché non riesco a vedere le cose più evidenti?
Devo assolutamente trovare un metodo e fare le cose con più rilassatezza.
Devo assolutamente trovare un metodo e fare le cose con più rilassatezza.
Ti do un consiglio: procurati una collana di libri di matematica per le superiori e segui l'ordine logico che ti viene fornito. 
Il brutto è che sto iniziando Analisi 1...
Fossi in te, mi prenderei tutto il tempo necessario. Il corso di Analisi 1 non può prescindere da una buona conoscenza della matematica di base: in ogni caso, buona fortuna! 
"DavideV":
Trovare il minimo dell'insieme $\{2(tanx)^2-2tanx : sinx<\frac{1}{\sqrt2}}$
Perdonate la mia uscita fuori luogo, ma l'insieme descritto che insieme è? Quei due punti sono una divisione o un "tale che"? Lo chiedo perché se fossero un "tale che" non capisco dove tirare fuori l'insieme...
Quello che è scritto dopo i due punti (tale che) è il dominio della funzione scritta prima dei due punti. Al posto di ":" si può usare anche "|"
$\{2(tanx)^2-2tanx | sinx<\frac{1}{\sqrt(2)}}
$\{2(tanx)^2-2tanx | sinx<\frac{1}{\sqrt(2)}}
OK. Thanks.
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