Tangenti comuni a due circonferenze

[Ricyricy]

devo trovare le equazioni delle 2 rette tangenti alle circonferenze $ x^2+y^2-6x=0 $ e $ x^2+y^2+2x=0 $
ho trovato i centri che sono $ c( 3;0) $ e $ c(-1;0)$ e i raggi $ r=3 $ e $ r=1 $
ho impostato un sistema usando la retta generica $ mx -y+q=0 $ ma non so se è corretto

${(|3m + q|/(sqrt(m^2+1)) = 3), (|q - m | /(sqrt(m^2+1)) =1):}$

è corretto?
poi come devo procedere? pensavo di elevare al quadrato tutto così elimino la radice e il valore assoluto

[giammaria2]

Alla tua soluzione devi aggiungere la tangente comune $x=0$ che è esclusa dalla in forma esplicita.
Elevare a quadrato entrambe le equazioni ne raddoppia il grado, complicando le cose; suggerisco di dividerle membro a membro e di elevare a quadrato solo la seconda; ottieni

${(|(3m+q)/(q-m)|=3),((q-m)^2=m^2+1):}$
La prima equazione può essere scritta come
$3m+q=+-3(q-m)$
e continui distinguendo i due casi.

[vittorino70]

Questa non vuole essere un'alternativa alle soluzioni già proposte ma piuttosto il considerare la questione da un punto di vista più strettamente geometrico. Osserviamo intanto che le due circonferenze hanno l'origine (0,0) in comune e la tangente in esso è, per entrambe, l'asse y di equazione x=0, che si ottiene ( com'è noto) eguagliando a zero il complesso dei termini di primo grado delle rispettive equazioni. Poiché le due circonferenze hanno come comune asse di simmetria l'asse x, è evidente che le altre due tangenti comuni alle circonferenze partono da un punto di tale asse che in figura è indicato con E(x,0). Per avere le coordinate di E partiamo dalla similitudine dei triangoli EAT e EBL e si ha:
\(\displaystyle \frac{EA}{EB}=\frac{AT}{BL} \)
Ovvero :
\(\displaystyle |\frac{x+1}{x-3}|=\frac{1}{3} \) da cui l'equazione :\(\displaystyle \frac{x+1}{x-3}=\pm \frac{1}{3} \)
le cui soluzioni sono \(\displaystyle x_1=0, x_2=-3 \)
La prima soluzione porta al punto O(0,0) già considerato mentre la seconda porta al punto E(-3,0). Adesso resta da
trovare l'inclinazione sull'asse x delle tangenti richieste, ovvero l'ampiezza dell'angolo AET. A tale scopo osserviamo che :
\(\displaystyle EA=|x_A-x_E|=|-1-(-3)| =2=2\cdot AT \)
e poiché il triangolo EAT è rettangolo in T, per una regola elementare, segue che l'angolo AET è ampio 30°.
Pertanto le tangenti uscenti da E hanno equazione :
\(\displaystyle y=\tan(\pm 30)(x+3) , \text{ovvero } \displaystyle y=\pm\frac{\sqrt3}{3}(x+3) \)
Per chi volesse indagare di più sull'aspetto puramente geometrico del problema, può osservare che i punti
O(0,0) ed E(-3,0) sono i centri delle due omotetie ( l'una inversa e l'altra diretta ) di costante pari a :
\(\displaystyle \frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{3} \)
che trasformano la circonferenza \(\displaystyle \gamma_1 \) nella circonferenza \(\displaystyle \gamma_2 \) e che quindi trasformano le tangenti dell'una ( uscenti da E) in quelle dell'altra. Le equazioni di tali omotetie sono :
\(\displaystyle \begin{cases} x->-\frac{1}{3}x\\ y->-\frac{1}{3}y\end{cases}\)
[quella di centro O]
\(\displaystyle \begin{cases} x->\frac{1}{3}x-2\\ y->\frac{1}{3}y\end{cases}\)
[quella di centro E]

[Ricyricy]

grazie a tutti, ho svolto correttamente l'esercizio