Tangenti comuni

[claudia f.1]

eccomi di nuovo
..ho un bel problema..maturità scientifica anno 1972 sessione suppletiva...
In sè non è proprio tremendo, solo che ho un problema con sistemi e delta vari.
dice così:

Date le due parabole rappresentate dalle equazioni:
$ y=x^2-7x+12 $ e $y=4x^2-25x+36$
si determinino le equazioni delle tangenti comuni.

Poi ci sono altri quesiti ma sono ok, è solo questo il mio problema. Ottengo davvero dei valori da mal di testa facendo i calcoli con quelli. Così mi è venuto il dubbio di star sbagliando qualcosa.
Qualche aiutino?

[klarence1]

Anche a me numeri alti.....
Che valori ottieni tu?

[claudia f.1]

"klarence":Anche a me numeri alti.....
Che valori ottieni tu?

Ti anticipo già che le soluzioni che dovrebbero venire sono $y=-5x+11$ e $y=3x-13$ quindi non sono numeri affato alti.
E forse è anche meglio se ti spiego velocemente il procedimento che ho utilizzato io.

Ho messo a sistema una per volta le equazioni delle parabole con l'equazione di una retta generica($y=mx+q$) ponendo ovviamente il $Delta$ =o.
Facendo ciò ho ottenuto il coeficiente angolare delle rette in relazione a $q$ ossia:
per la prima parabola ho ottenuto $m=-7 +- sqrt(48-q)$
per la seconda $m=-25 +- sqrt (36-q)$
Secondo il mio ragionamento sarebbe bastato mettere a sistema due per volta i coeficienti angolari e facendo un attimo di attenzione si sarebbe giunti alle soluzioni; ma con quelle radici vengono dei numeri assurdi.

[Gaal Dornick]

usa "sqrt" (SQuare RooT) al posto di "radice"

[claudia f.1]

"Gaal Dornick":usa "sqrt" (SQuare RooT) al posto di "radice"

stavo giust'appunto per modificarlo, ero appena andata a vedere come si scriveva.
grazie comunque!

[G.D.5]

Ho fatto i disegni delle parabole e delle rette con un programma e non risultano...sei scura de risultati?

[claudia f.1]

"WiZaRd":Ho fatto i disegni delle parabole e delle rette con un programma e non risultano...sei scura de risultati?

beh credo di si..in ogni caso nel risultato mi scrivono anche i punti di tangenza che sono $(1;6) ; (5/2;-3/2) ; (5;2) ; (7/2;-5/2)$
Io il disegno l'ho fatto a mano, e questi punti a me graficamente risultano.

[G.D.5]

Scusa: errore mio.

Ho preso il -25 nella seconda equazione per un +25.

[claudia f.1]

"WiZaRd":Scusa: errore mio.

Ho preso il -25 nella seconda equazione per un +25.

Quindi ora risulta?

[milady1]

"claudia f.":[quote="klarence"]
Ho messo a sistema una per volta le equazioni delle parabole con l'equazione di una retta generica($y=mx+q$) ponendo ovviamente il $Delta$ =o.

[/quote]
ma a questo punto metti a sistema le condizioni di tangenza ottenute,che poi puoi risolvere con il metodo di riduzione per sottrazione e non ti dovrebbero uscire numeri assurdi...

[G.D.5]

Ho corretto e ho fatto i conti a mano...risultano entrambe.

[claudia f.1]

"milady":[quote="claudia f."][quote="klarence"]
Ho messo a sistema una per volta le equazioni delle parabole con l'equazione di una retta generica($y=mx+q$) ponendo ovviamente il $Delta$ =o.

ma a questo punto metti a sistema le condizioni di tangenza ottenute,che poi puoi risolvere con il metodo di riduzione per sottrazione e non ti dovrebbero uscire numeri assurdi...[/quote][/quote]

eh...esatto, non dovrebbero..

[claudia f.1]

"WiZaRd":Ho corretto e ho fatto i conti a mano...risultano entrambe.

cosa sbaglio io allora??

[milady1]

"claudia f.":[quote="milady"][quote="claudia f."][quote="klarence"]
Ho messo a sistema una per volta le equazioni delle parabole con l'equazione di una retta generica($y=mx+q$) ponendo ovviamente il $Delta$ =o.

ma a questo punto metti a sistema le condizioni di tangenza ottenute,che poi puoi risolvere con il metodo di riduzione per sottrazione e non ti dovrebbero uscire numeri assurdi...[/quote]

eh...esatto, non dovrebbero..[/quote][/quote]
tranquilla non escono!!!!!!
ti esce un'equazione di secondo grado in $m$ da cui poi ti ricavi $q$

[claudia f.1]

"milady":
tranquilla non escono!!!!!!
ti esce un'equazione di secondo grado in $m$ da cui poi ti ricavi $q$

ah si?
Io ottengo $m$ in relazione a $q$ con i valori che ho scritto prima rispondendo a klarence.
E' da qui che nascono i problemi:cercando di mettere a sistema queste soluzioni...

[milady1]

mettendo a sistema le condizioni di tangenza
1) $m^2 + 14m +4q+1=0$
2) $m^2 +50m+16q+49=0$

applico il metodo di sottrazione da cui ricavo
$36m+12q+48=0$
ovvero
3)$q=-3m-4$

ora mettendo a sistema 1) e 3)
ricavi
4) $m^2+2m-15=0$
che ti restituiscono i due coefficienti angolari -5 e 3
e quindi 11 e -13 per q

[claudia f.1]

"milady":mettendo a sistema le condizioni di tangenza
1) $m^2 + 14m +4q+1=0$
2) $m^2 +50m+16q+49=0$

applico il metodo di sottrazione da cui ricavo
$36m+12q+48=0$
ovvero
3)$q=-3m-4$

ora mettendo a sistema 1) e 3)
ricavi
4) $m^2+2m-15=0$
che ti restituiscono i due coefficienti angolari -5 e 3
e quindi 11 e -13 per q

accidenti! ..hai proprio ragione...ero io che facevo un giro assurdo perchè arrivata a quelle equazioni di secondo grado-visto che rappresentavano il delta- le ponevo uguali a zero(condizione di tangenza), calcolavo anche il loro delta trovando perciò i valori di $m$ in rapporto a $q$..e li nascevano i problemi...
grazie per la dritta!

[milady1]

"claudia f.":
accidenti! ..hai proprio ragione...ero io che facevo un giro assurdo perchè arrivata a quelle equazioni di secondo grado-visto che rappresentavano il delta- le ponevo uguali a zero(condizione di tangenza), calcolavo anche il loro delta trovando perciò i valori di $m$ in rapporto a $q$..e li nascevano i problemi...
grazie per la dritta!

figurati!

[franced]

"claudia f."::-) eccomi di nuovo
..ho un bel problema..maturità scientifica anno 1972 sessione suppletiva...
In sè non è proprio tremendo, solo che ho un problema con sistemi e delta vari.
dice così:

Date le due parabole rappresentate dalle equazioni:
$ y=x^2-7x+12 $ e $y=4x^2-25x+36$
si determinino le equazioni delle tangenti comuni.

Poi ci sono altri quesiti ma sono ok, è solo questo il mio problema. Ottengo davvero dei valori da mal di testa facendo i calcoli con quelli. Così mi è venuto il dubbio di star sbagliando qualcosa.
Qualche aiutino?

Il problema si può affrontare prendendo in considerazione una retta tangente alla parabola $ y=x^2-7x+12 $
e imponendo la tangenza con l'altra parabola.

Una retta tangente generica alla parabola $ y=x^2-7x+12 $ ha equazione $y = (2a-7)x+12-a^2$ (basta ricorrere alle derivate);
mettendo a sistema con la parabola $y=4x^2-25x+36$ si trova che il $\Delta$ è uguale a $-15+18a-3a^2$;
le soluzioni sono $a=1$ e $a=5$.
A questo punto basta sostituire nell'equazione della retta tangente generica $y = (2a-7)x+12-a^2$ e si ottengono
le rette tangenti comuni alle due parabole:

$y=-5x+11$

$y=3x-13$

Francesco Daddi