Tangenti alle circonferenze

[89mary-votailprof]

buongiorno a tutti!! era da un po' che non mi facevo sentire...ho difficoltà con questo esercizio:

trovare le tangenti comuni alle due circonferenze $x^2+y^2=4$ e $x^2+y^2-8x=0$. (le distanze della retta generica y=mx+q dai centri dei due cerchi devono essere uguali alle misure dei loro rispettivi raggi).
[m=$+- (1)/sqrt3$; q=$+-(4)/sqrt3$]

grazie

[luca881]

Se la tua retta ha equazione $y=mx+q$ allora la sua distanza $d$ da un generico punto $(x_0,y_0)$ può essere scritta $d=\frac{|y_0-mx_0-q|}{\sqrt{m^2+1}}$.

Le due circonferenze hanno centro in $(0,0)$ e $(4,0)$ e raggio 2 e 4 rispettivamente. Imponiamo la condizione che scritto tu tra parentesi:

$|-q|=2\sqrt{m^2+1} \wedge |-q-4m|=4\sqrt{m^2+1}$

e da qui si tratta di risolvere un sistema di due equazioni in due incognite (consiglio di elevarle al quadrato entrambe e poi andare a sostituire nella seconda distinguendo i casi $q>0$ e $q<0$).

Ciao!

[Sk_Anonymous]

Volendo il problema si puo' risolvere senza troppi calcoli.
Le due circonferenze hanno rispettivamente centro in O(0,0) e O'(4,0)
e raggi OT=2 e OT'=4.
Dalla similitudine dei triangoli POT e PO'T' si trae:
PO:PO'=OT:OT' e cioe' PO:PO'=2:4 da cui PO'=2PO
Ovvero: PO+OO'=2PO e quindi PO=OO' =4.
Pertanto le coordinate del punto P d'intersezione delle due tangenti sono
P(-4,0).
Sempre dalla figura si ha: $PT=sqrt(PO^2-OT^2)=sqrt(16-4)=2sqrt3$
e quindi $tan(alpha)=(OT)/(PT)=2/(2sqrt3)=1/(sqrt3)$
Se ne ricava che l'equazione della tangente PT e':
$y-0=1/(sqrt3)(x+4)$ ovvero $y=1/(sqrt3)(x+4)$
e quella della sua simmetrica rispetto all'asse x e' :
$y=-1/(sqrt3)(x+4)$
Archimede

[89mary-votailprof]

grazie luca...provo se mi viene
grazie archimede, ma io il tan non so cosa sia

[Sk_Anonymous]

scusa luca hai dimenticato la radice nella formula della distanza!!

[luca881]

Grazie Micheletv ho corretto!!

Ciao

[matematicoestinto]

"archimede":
Volendo il problema si puo' risolvere senza troppi calcoli.
Le due circonferenze hanno rispettivamente centro in O(0,0) e O'(4,0)
e raggi OT=2 e OT'=4.
Dalla similitudine dei triangoli POT e PO'T' si trae:
PO:PO'=OT:OT' e cioe' PO:PO'=2:4 da cui PO'=2PO
Ovvero: PO+OO'=2PO e quindi PO=OO' =4.
Pertanto le coordinate del punto P d'intersezione delle due tangenti sono
P(-4,0).
Sempre dalla figura si ha: $PT=sqrt(PO^2-OT^2)=sqrt(16-4)=2sqrt3$
e quindi $tan(alpha)=(OT)/(PT)=2/(2sqrt3)=1/(sqrt3)$
Se ne ricava che l'equazione della tangente PT e':
$y-0=1/(sqrt3)(x+4)$ ovvero $y=1/(sqrt3)(x+4)$
e quella della sua simmetrica rispetto all'asse x e' :
$y=-1/(sqrt3)(x+4)$
Archimede

COMPLIMENTI ARCHIMEDE... IL NOME TI SI ADDICE

CIAO