Tangenti alla circonferenza
Problema:
Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2=52 in modo che risultino perpendicolari alla retta di equazione 2x+3y=6!
[Soluz:
2y-3x+26=0
2y-3x-26=0]
Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2=52 in modo che risultino perpendicolari alla retta di equazione 2x+3y=6!
[Soluz:
2y-3x+26=0
2y-3x-26=0]
Risposte
Dove abbiamo sbagliato allora? E come fai a dier che il risultato è giusto? prova a rifare i calcoli e vedrai che da + o - 6!
Il secondo punto non è P(6;4), ma è P(6;-4) !!!
Infatti sostituendo 6 al posto di x nella funzione
y = - sqrt(52 - x^2) viene y = -4 e non 4 !!!
Questo perché sostituivamo nella prima funzione
anziché nella seconda... Un piccolo lapsus...
Allora, la tangente in P(6;-4) è:
y + 4 = 3/2 (x - 6) ==> y = 3/2 x - 13
Finalmente!!!
Infatti sostituendo 6 al posto di x nella funzione
y = - sqrt(52 - x^2) viene y = -4 e non 4 !!!
Questo perché sostituivamo nella prima funzione
anziché nella seconda... Un piccolo lapsus...
Allora, la tangente in P(6;-4) è:
y + 4 = 3/2 (x - 6) ==> y = 3/2 x - 13
Finalmente!!!
ma io non capisco come fai a tirare furi il 6!
Pf mi copi i passaggi?
Pf mi copi i passaggi?
x = 6 è la soluzione dell'equazione y' = 3/2,
cioè x/sqrt(52 - x^2) = 3/2 (mi riferisco sempre al secondo caso)...
cioè x/sqrt(52 - x^2) = 3/2 (mi riferisco sempre al secondo caso)...
si, ma a me non viene! Mi risolveresti passaggio per passaggio questa equazione e quella del primo caso???
A me viene sempre + o - 6!
C'è qualcosa che non va!
A me viene sempre + o - 6!
C'è qualcosa che non va!
dai ti rispondo io... x/sqrt(52-x^2)=3/2 (nota che siccome il denominatore è positivo, il numeratore deve sicuramente essere non negativo, per verificare l' uguaglianza); ora la puoi svolgere così sqrt(52-x^2)/x=2/3 molitiplichi per x,che tanto non è zero
sqrt(52-x^2)=2x/3 elevi tutto al quadrato(facendo poi attenzione alle soluzioni finali)
52-x^2=4x^2/3
13x^2/4=52
x^2=36 ========> x1=-6 non accettabile
x2=6 accettabile
quindi sicuramente una soluzione è x=6, e sostituendo nell' equazione ottieni y=-sqrt(52-(-6)^2) (nota che è solo la y negativa, perchè la derivata era quella del semicerchio con le y negative), quindi un punto è (6;-4);
l' altra è praticamente uguale: -x/sqrt(52-x^2)=3/2 (e qua x deve essere negativo)
sqrt(52-x^2)/-x=2/3
sqrt(52-x^2)=-2x/3
52-x^2=4x^2/9
x^2=36 =========> x1=-6 accettabile
x2=6 non accettabile
per cui il punto su y=+sqrt(52-x^2) ha coordinate -6 e +4; adesso basta che usi le formule del fascio di rette e finirai il problema una volta per tutte(spero)
sqrt(52-x^2)=2x/3 elevi tutto al quadrato(facendo poi attenzione alle soluzioni finali)
52-x^2=4x^2/3
13x^2/4=52
x^2=36 ========> x1=-6 non accettabile
x2=6 accettabile
quindi sicuramente una soluzione è x=6, e sostituendo nell' equazione ottieni y=-sqrt(52-(-6)^2) (nota che è solo la y negativa, perchè la derivata era quella del semicerchio con le y negative), quindi un punto è (6;-4);
l' altra è praticamente uguale: -x/sqrt(52-x^2)=3/2 (e qua x deve essere negativo)
sqrt(52-x^2)/-x=2/3
sqrt(52-x^2)=-2x/3
52-x^2=4x^2/9
x^2=36 =========> x1=-6 accettabile
x2=6 non accettabile
per cui il punto su y=+sqrt(52-x^2) ha coordinate -6 e +4; adesso basta che usi le formule del fascio di rette e finirai il problema una volta per tutte(spero)
Propongo un procedimento piu' breve:
La retta passante per il centro della circonferenza
e parallela alla retta data e':
2x+3y=0.Le intersezioni di tale retta con la circonferenza
si ottengono dal sistema:
[2x+3y=0;x^2+y^2=52]
che risolto da' i punti di contatto:
A(-6,4) e B(6,-4)
Le tangenti sono allora le rette passanti per tali punti
e perpendicolari alla retta data:
1)y-4=3/2*(x+6)--->3x-2y+26=0
2)y+4=3/2*(x-6)--->3x-2y-26=0
La retta passante per il centro della circonferenza
e parallela alla retta data e':
2x+3y=0.Le intersezioni di tale retta con la circonferenza
si ottengono dal sistema:
[2x+3y=0;x^2+y^2=52]
che risolto da' i punti di contatto:
A(-6,4) e B(6,-4)
Le tangenti sono allora le rette passanti per tali punti
e perpendicolari alla retta data:
1)y-4=3/2*(x+6)--->3x-2y+26=0
2)y+4=3/2*(x-6)--->3x-2y-26=0
eh lo so, ma purtroppo lando voleva un procedimento che utilizzasse le derivate, infatti la avevo postata anch' io una soluzione del genere...
Hai perfettamente ragione.Aggiungo che una
soluzione con le derivate (e per giunta rispetto
ad una funzione implicita) mi sembra poco adatta
ad un problema di questa portata.
karl.
soluzione con le derivate (e per giunta rispetto
ad una funzione implicita) mi sembra poco adatta
ad un problema di questa portata.
karl.
Lo so, ma sto facendo le derivate --> tutti iprbolemi che faccio, devo usare le derivate!
Cmq io non riesco a cpire perché nel primo caso +6 non è accettabile
e nel secondo caso -6 non è accettabile!!!
Sto impazzendo! [:D]
Cmq io non riesco a cpire perché nel primo caso +6 non è accettabile
e nel secondo caso -6 non è accettabile!!!
Sto impazzendo! [:D]
il fatto è che nel primo caso +6 non è accettabile perchè è una soluzione in più! ti spiego meglio: noi per eliminare la radice abbiamo elevato entrambi i membri al quadrato, e elevando al quadrato si aggiungono inevitabilmente(o quasi) delle soluzioni; la cosa migliore da fare è, una volta ottenute le soluzioni, verificare se esse rendono vera l' equazione di partenza, e se provi a sostituire -6 nella prima ti accorgerai che non la rende vera, quindi è da scartare, mentre il secondo valore, +6, verifica la tua equazione iniziale, quindi è accettabile; lo stesso ragionamento lo si può fare per la seconda disequazione, e vedrai che l' unica soluzione è -6; adesso però ti potrai chiedere: "ma io ho ottenuto -6 anche prima, e visto che lo ho ottenuto anche nella seconda, non potevo tenerlo come soluzione?" la risposta è ovviamente negativa: infatti hai ottenuto -6 come soluzione di una certa equazione, che ti da una certa y; mentre il -6 che hai ottenuto nella prima equazione ti da un altro valore della y, che ti fornisce così un punto che non ha nulla a che vedere col resto del problema...
ma sai che non mi è mai capitato di ottenre da un'equazione di secondo grado delle soluzioni che non andavano bene! Quindi ogni volta devo verificarle???
wow che novità!
wow che novità!
beh di fatto quella che avevi non era una equazione di secondo grado...o meglio il termine elevato alla seconda era sotto radice quadrata, e questo vuol dire che devi elevare alla seconda ogni membro; il problema è che tu avevi l' incognita anche fuori dal segno di radice, quindi in generale potevi aver aggiunto soluzioni...e quando capita questo il metodo migliore è quello di verificare ogni soluzione...
Jack, ho notato che fai il quarto anno e hai 16 anni...
Ho notato anche che hai acquisito una certa dimestichezza
con l'applicazione delle derivate, probabilmente perché anche
tu, come me, hai voluto approfondire gli studi di Matematica
per conto tuo, arrivando anche fino ad argomenti del quinto
liceo scientifico. La mia domanda è: quando calcoli la derivata
di una funzione, sai di cosa stiamo parlando? Sai che
cosa significa "derivata di una funzione"?
Ho notato anche che hai acquisito una certa dimestichezza
con l'applicazione delle derivate, probabilmente perché anche
tu, come me, hai voluto approfondire gli studi di Matematica
per conto tuo, arrivando anche fino ad argomenti del quinto
liceo scientifico. La mia domanda è: quando calcoli la derivata
di una funzione, sai di cosa stiamo parlando? Sai che
cosa significa "derivata di una funzione"?
più o meno so che la derivata si definisce Delta y/Delta x, e che corrisponde cioè a f(x1)-f(x0)/x1 - x0, poichè y=f(x); in pratica so che per le coniche la derivata è una retta, ma per le altre curve la cosa diventa un po' più complicata... non credo sarei capace di risolvere un esercizio con le derivate di curve che non siano coniche ...
No, no!!! Solo la derivata di una parabola è una retta,
la derivata di una conica in generale non è assolutamente
una retta!!! Comunque dicesi derivata
il limite del rapporto incrementale di una funzione,
quando l'incremento della variabile indipendente tende
a zero. Se chiamo h l'incremento e c un punto in cui la
funzione sia definita, allora la derivata della funzione è:
Quindi per sapere cosa sia la derivata di una funzione è
a dir poco fondamentale avere la nozione di limite di una funzione...
Inoltre, per "tagliare la testa al toro", posto la soluzione
delle due equazioni, cercando di essere più chiaro possibile:
1) x/sqrt(52 - x^2) = 3/2
Il denominatore della frazione che si trova
al primo membro dev'essere diverso da zero,
ma poiché vi è una radice di indice pari, le
condizioni di esistenza della frazione sono
da ricercarsi con la disequazione:
52 - x^2 > 0
x^2 < 52 ==> -2*sqrt(13) < x < 2*sqrt(13)
Quindi la frazione al primo membro esiste se x appartiene
a questo intervallo, di conseguenza le soluzioni dell'equazione devono
necessariamente appartenere a questo intervallo.
A questo punto possiamo moltiplicare
il primo membro per 2 e il secondo membro per sqrt(52 - x^2),
ottenendo: 2x = 3*sqrt(52 - x^2)
Il primo membro va posto > 0, perché al secondo
membro vi è un radicale moltiplicato per un numero
positivo (3). Quindi un'ulteriore condizione di accettabilità
delle soluzioni dell'equazione è: x > 0
Quindi in definitiva le condizioni di accettabilità
delle soluzioni di questa equazione sono: 0 < x < 2*sqrt(13)
Adesso possiamo quadrare entrambi i membri e alla fine si ottiene:
x^2 = 36 da cui x = [:p]6. Per le condizioni di accettabilità,
evidenziate in grassetto, è accettabile solo x = 6 perché x = -6
non si trova nell'intervallo (0 ; 2*sqrt(13)) essendo negativa.
2) -x/sqrt(52 - x^2) = 3/2
Si procede in modo del tutto analogo...
Si avrà: -2x = 3*sqrt(52 - x^2) e quindi bisognerà
porre -2x > 0 , da cui x < 0 e di conseguenza
le condizioni di accettabilità saranno: -2*sqrt(13) < x < 0 etc...
la derivata di una conica in generale non è assolutamente
una retta!!! Comunque dicesi derivata
il limite del rapporto incrementale di una funzione,
quando l'incremento della variabile indipendente tende
a zero. Se chiamo h l'incremento e c un punto in cui la
funzione sia definita, allora la derivata della funzione è:
<font size="4">
lim f(c + h) - f(c)
h->0 -----------------
h
</font id="size4">Quindi per sapere cosa sia la derivata di una funzione è
a dir poco fondamentale avere la nozione di limite di una funzione...
Inoltre, per "tagliare la testa al toro", posto la soluzione
delle due equazioni, cercando di essere più chiaro possibile:
1) x/sqrt(52 - x^2) = 3/2
Il denominatore della frazione che si trova
al primo membro dev'essere diverso da zero,
ma poiché vi è una radice di indice pari, le
condizioni di esistenza della frazione sono
da ricercarsi con la disequazione:
52 - x^2 > 0
x^2 < 52 ==> -2*sqrt(13) < x < 2*sqrt(13)
Quindi la frazione al primo membro esiste se x appartiene
a questo intervallo, di conseguenza le soluzioni dell'equazione devono
necessariamente appartenere a questo intervallo.
A questo punto possiamo moltiplicare
il primo membro per 2 e il secondo membro per sqrt(52 - x^2),
ottenendo: 2x = 3*sqrt(52 - x^2)
Il primo membro va posto > 0, perché al secondo
membro vi è un radicale moltiplicato per un numero
positivo (3). Quindi un'ulteriore condizione di accettabilità
delle soluzioni dell'equazione è: x > 0
Quindi in definitiva le condizioni di accettabilità
delle soluzioni di questa equazione sono: 0 < x < 2*sqrt(13)
Adesso possiamo quadrare entrambi i membri e alla fine si ottiene:
x^2 = 36 da cui x = [:p]6. Per le condizioni di accettabilità,
evidenziate in grassetto, è accettabile solo x = 6 perché x = -6
non si trova nell'intervallo (0 ; 2*sqrt(13)) essendo negativa.
2) -x/sqrt(52 - x^2) = 3/2
Si procede in modo del tutto analogo...
Si avrà: -2x = 3*sqrt(52 - x^2) e quindi bisognerà
porre -2x > 0 , da cui x < 0 e di conseguenza
le condizioni di accettabilità saranno: -2*sqrt(13) < x < 0 etc...
eh già mi ero quasi dimenticato del concetto di limite...mea culpa...
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