Tangenti alla circonferenza
Problema:
Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2=52 in modo che risultino perpendicolari alla retta di equazione 2x+3y=6!
[Soluz:
2y-3x+26=0
2y-3x-26=0]
Determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x^2+y^2=52 in modo che risultino perpendicolari alla retta di equazione 2x+3y=6!
[Soluz:
2y-3x+26=0
2y-3x-26=0]
Risposte
Comincio a disperare! A me non escono i risulatai giusti!!!
La retta di equazione : 2x+3y=6 ha coefficiente angolare : -2/3( basta scrivere y=-2x/3+6) ; le rette perpendicolari a questa devono avre coeff. angolare pari a : -1/(-2/3)= 3/2.
Quindi le rette tangenti alla crf e perpendicolari alla retta avranno equazione : y=3x/2+ k , bisogna determinare k considerando che la retta deve essere tangente alla crf.
Fai sistema tra retta e crf etc. etc.
Oppure, forse meglio imponi che la retta y=3x/2+k abbia distanza dal centro della crf(0,0) pari al raggio ( che vale 2*sqrt(13)), c'è una formula per farlo; anzi è molto meglio questa strada.
Camillo
Quindi le rette tangenti alla crf e perpendicolari alla retta avranno equazione : y=3x/2+ k , bisogna determinare k considerando che la retta deve essere tangente alla crf.
Fai sistema tra retta e crf etc. etc.
Oppure, forse meglio imponi che la retta y=3x/2+k abbia distanza dal centro della crf(0,0) pari al raggio ( che vale 2*sqrt(13)), c'è una formula per farlo; anzi è molto meglio questa strada.
Camillo
ma devo usare la formula del fascio di rette!
y-y0=pendenza*(x-x0)
y-y0=pendenza*(x-x0)
dunque il procedimento dovrebbe essere questo: prima di tutto metti l' equazione della retta nella forma y=kx+q, poi siccome sai che le tangenti devono avere coefficiente angolare k'=-1/k, ti scrivi l' equazione delle tangenti come y=-x/k+p, dove p è incognito; adesso se fai il sistema fra questo fascio improprio e la circonferenza, ottieni una equazione parametrica di secondo grado (cioè hai oltre alla x anche la p), adesso ti calcoli il delta dell' equazione, che vedrai è un polinomio di secondo grado in p; poni il delta uguale a zero (infatti, per ogni tangente, devi ottenere una sola intersezione con la circonferenza...) e trovi i valori, che, sostituiti nella equazione y=-x/k + p, ti danno proprio le rette che cercavi...
ma se uso la foruma del fascio di rette mi esce diverso!
ma tu quale fascio di rette intendi? anche io di fatto ne ho usato uno(seppur improprio), y=-x/k+p, con k noto e p da trovare...
devo usare questa formula:
y-y0=pendenza*(x-x0)
dove y0 e x0 sono la x e la y di un punto noto
y-y0=pendenza*(x-x0)
dove y0 e x0 sono la x e la y di un punto noto
va bene, ma allora qual è il punto noto?
non l'ho! lo devo trovare!
okay, forse puoi fare così: prendi la retta iniziale, e ti trovi l' equazione di quella parallela, che però passa dall' origine, poi fai il sistema fra questa e la circonferenza, così ti trovi due punti diametralmente opposti, e una volta che li hai trovati usi la formula del fascio di rette per quei punti y-y0=m(x-x0), dove conosci la m, x0 e y0
bhe, ma io il punto lo posso trovare sapendo che la pendenza che la retta deve avevre è 3/2 e che la derivata della circonferenza nel punto che a nopi interessa deve essere 3/2 risolvo l'equazione e ricavo x, che sostituisco nella forumla della circonferenza e trovo y! Il problema è che mi vengono delle rette diverese dalla soluzione
perchè scomodare le derivate? adesso, ne so ben poco, ma mi pare che la derivata di una circonferenza con centro in O(0;0) sia x*x0 + y*y0 = c, però sostituendo 52 a c ,e sapendo che -(x0/y0)=3/2, non riesco a sbarazzarmi di y0; se mi puoi postare i tuoi calcoli quindi, forse ti posso dare una mano...
il problema è che devo risolverlo con le derivate!
Il grafico della circonferenza è,
come dire, composto dai grafici di due funzioni.
La prima: y = sqrt(52 - x^2)
La seconda: y = - sqrt(52 - x^2)
E quindi non esiste una vera e propria "derivata
della circonferenza", ma due derivate di segno opposto!
Occorre quindi considerare due casi:
1) Consideriamo la semicirconferenza y = f(x) = sqrt(52 - x^2)
Tale funzione ha derivata uguale a -x/sqrt(52 - x^2) ,
derivata che deve assumere il valore 3/2 in un certo punto.
Per calcolare l'ascissa di questo punto, risolviamo
l'equazione -x/sqrt(52 - x^2) = 3/2 ottenendo x = -6
L'ordinata del punto è f(6) = 4. Quindi: P(-6;4)
La retta passante per tale punto e avente coeff. angolare
3/2 ha equazione: y - 4 = 3/2 (x + 6) ==> y = 3/2 x + 13
che corrisponde alla soluzione del libro.
2) In modo perfettamente analogo si procede
per la seconda funzione: y = - sqrt(52 - x^2)
Si deriva, si risolve l'equazione y' = 3/2 etc...
come dire, composto dai grafici di due funzioni.
La prima: y = sqrt(52 - x^2)
La seconda: y = - sqrt(52 - x^2)
E quindi non esiste una vera e propria "derivata
della circonferenza", ma due derivate di segno opposto!
Occorre quindi considerare due casi:
1) Consideriamo la semicirconferenza y = f(x) = sqrt(52 - x^2)
Tale funzione ha derivata uguale a -x/sqrt(52 - x^2) ,
derivata che deve assumere il valore 3/2 in un certo punto.
Per calcolare l'ascissa di questo punto, risolviamo
l'equazione -x/sqrt(52 - x^2) = 3/2 ottenendo x = -6
L'ordinata del punto è f(6) = 4. Quindi: P(-6;4)
La retta passante per tale punto e avente coeff. angolare
3/2 ha equazione: y - 4 = 3/2 (x + 6) ==> y = 3/2 x + 13
che corrisponde alla soluzione del libro.
2) In modo perfettamente analogo si procede
per la seconda funzione: y = - sqrt(52 - x^2)
Si deriva, si risolve l'equazione y' = 3/2 etc...
ecco lo so! io ho fatto così, ma la seconda retta non viene come indicata dal libro!
Beh allora farai qualche errore di calcolo
perché il procedimento è senz'altro corretto.
perché il procedimento è senz'altro corretto.
lo so che è corretto e non credo prorpio di fare errori di calcolo!
nel senso che ha sbagliato il libro? O il libro è giusto e noi non abbiamo considerato qualcosa?
cmq in teoria vengono ancora + soluzioni perché
"'equazione -x/sqrt(52 - x^2) = 3/2 ottenendo x = -6"
Non è vero, x è uguale a più o meno 6
"'equazione -x/sqrt(52 - x^2) = 3/2 ottenendo x = -6"
Non è vero, x è uguale a più o meno 6
Eppure Derive mi dice solo x = - 6 ...
Comunque il risultato del libro purtroppo è giusto,
perché ho disegnato i grafici delle due rette e della
circonferenza e tutto combacia.
Comunque il risultato del libro purtroppo è giusto,
perché ho disegnato i grafici delle due rette e della
circonferenza e tutto combacia.
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