Tangente di 8x
sia $\tanx=\frac{a}{b}$ abbiamo:
$\tan(8x)=\frac{8ab(b^2-a^2)(b^2-a^2-2ab)(b^2-a^2+2ab)}{(b^2-a^2-2ab)^2(b^2-a^2+2ab)^2-16a^2b^2(b^2-a^2)^2}$
Come ho detto altre volte, non so se questo risultato è noto. Certamente tan nx è stata studiata in passato e ci sono varie formule in proposito. A me interessa cercar di dimostrare in modo elementare e con considerazioni geometriche formule che mi sembrano interessantie quando funzionano sono felice.
La formula per me è esatta solo se l'angolo x è minore di 11.25°
ma un amico, fisico ricercatore al Sant'Anna di Pisa mi ha detto:
"Ciao ti allego le rappresentazioni.
La tua formula è giusta per qualsiasi angolo tra 0 e 360, cioè, sempre."
a=np.linspace(0,360,1000)
arad = a/180.*np.pi
y=np.tan(8*arad)
t = np.tan(arad)
y2= 8*t*(1-t**2)*(1-t**2-2*t)*(1-t**2+2*t)/((1-t**2-2*t)**2*(1-t**2+2*t)**2-16*t**2*(1-t**2)**2)
Confesso di ignorare il matlab e conosco pochissimo anche Mathematica.
Non ho ancora avuto la possibilità di confrontarmi con "Legendre" (cosi è ribattezzato il mio amico).
Se qualcuno conosce il matlab magari puoì chiarire il mistero.
Grazie mille per la collaboarzione.
OLiver
P.S. non allego il grafico perchè mi pare di aver letto che non è permesso..
$\tan(8x)=\frac{8ab(b^2-a^2)(b^2-a^2-2ab)(b^2-a^2+2ab)}{(b^2-a^2-2ab)^2(b^2-a^2+2ab)^2-16a^2b^2(b^2-a^2)^2}$
Come ho detto altre volte, non so se questo risultato è noto. Certamente tan nx è stata studiata in passato e ci sono varie formule in proposito. A me interessa cercar di dimostrare in modo elementare e con considerazioni geometriche formule che mi sembrano interessantie quando funzionano sono felice.
La formula per me è esatta solo se l'angolo x è minore di 11.25°
ma un amico, fisico ricercatore al Sant'Anna di Pisa mi ha detto:
"Ciao ti allego le rappresentazioni.
La tua formula è giusta per qualsiasi angolo tra 0 e 360, cioè, sempre."
a=np.linspace(0,360,1000)
arad = a/180.*np.pi
y=np.tan(8*arad)
t = np.tan(arad)
y2= 8*t*(1-t**2)*(1-t**2-2*t)*(1-t**2+2*t)/((1-t**2-2*t)**2*(1-t**2+2*t)**2-16*t**2*(1-t**2)**2)
Confesso di ignorare il matlab e conosco pochissimo anche Mathematica.
Non ho ancora avuto la possibilità di confrontarmi con "Legendre" (cosi è ribattezzato il mio amico).
Se qualcuno conosce il matlab magari puoì chiarire il mistero.
Grazie mille per la collaboarzione.
OLiver
P.S. non allego il grafico perchè mi pare di aver letto che non è permesso..
Risposte
Il codice MatLab non fa altro che tabulare (un numero finito di punti de)i grafici di $tan 8x$ e dell'espressione razionale in tangente che si ricava dal secondo membro con la sostituzione $a/b = tan x$ al variare di $x in [0,2pi]$ e -con qualche riga di codice omessa- diagrammarli per ottenere un confronto grafico.
Il problema, come già detto altrove, è: se hai una dimostrazione perché non la posti?
La si controlla insieme e si vede che cosa si può fare.
Se ti limiti a dire secondo me vale questo in questo intervallo, perché pensi che qualcuno abbia voglia di venirti dietro?
P.S.: Non è che ci volesse il ricercatore della Sant'Anna per scrivere quel codice... Mi sarei aspettato qualcosa di più ingegnoso, fossi stato in te.
Il problema, come già detto altrove, è: se hai una dimostrazione perché non la posti?
La si controlla insieme e si vede che cosa si può fare.
Se ti limiti a dire secondo me vale questo in questo intervallo, perché pensi che qualcuno abbia voglia di venirti dietro?
P.S.: Non è che ci volesse il ricercatore della Sant'Anna per scrivere quel codice... Mi sarei aspettato qualcosa di più ingegnoso, fossi stato in te.
"gugo82":
Il codice MatLab non fa altro che tabulare (un numero finito di punti de)i grafici di $tan 8x$ e dell'espressione razionale in tangente che si ricava dal secondo membro con la sostituzione $a/b = tan x$ al variare di $x in [0,2pi]$ e -con qualche riga di codice omessa- diagrammarli per ottenere un confronto grafico.
Il problema, come già detto altrove, è: se hai una dimostrazione perché non la posti?
La si controlla insieme e si vede che cosa si può fare.
Se ti limiti a dire secondo me vale questo in questo intervallo, perché pensi che qualcuno abbia voglia di venirti dietro?
P.S.: Non è che ci volesse il ricercatore della Sant'Anna per scrivere quel codice... Mi sarei aspettato qualcosa di più ingegnoso, fossi stato in te.
Io non so nulla di matlab, conosco due persone che utilizzano Matlab una è mio figlio che è al Cern ma che è talmente impegnato che non voglio disturbarlo, l'altro è l'amico Legendre, anche lui parecchio occupato, ma che spesso verifica volentieri le formule..Confesso di non capire il "qualcosa di piu' ingegnoso".
Comunque è facilissimo verificare la formula, basta una calcolatrice..Se ad esempio a=
1, b=8, la formula è esatta ..Mi sembrava di aver capito che il Matlab permette di verificare se la formula
postata è esatta..
Per postare la soluzione dovrei prima imparare a postare i grafici, poi trovare un'atmosfera diversa, diciamo meno scettica ed ostile..
ciao
Oliver
P.S. Oliver Heaviside fu espulso dalla Royal Society per indegnità. Aveva scritto un articolo ove, tra l'altro, aveva introdotto quella che oggi viene denominata Delta di Dirac.. Ha ricevuto scuse parecchio tempo dopo.
Le cosiddette equazioni di Maxwell le ha scritte lui. Le originali erano venti e utilizzavano i quaternioni..
Analogamente a quanto ti ho già detto, calcolare la tangente di $8x$ è un ottimo esercizio per uno studente di terza superiore. Non capisco perché ti atteggi come se avessi scoperto chissà cosa. Se domani mi metto tutto il giorno a calcolare la tangente di $18x$ pensi che la formula che troverei sarebbe una scoperta? No: sarebbe il risultato di un difficile esercizio di manipolazioni algebriche. Riempirei pagine di conti e troverei una formula alla fine. E con questo?
Detto questo concordo con gugo: le dimostrazioni mi interessano molto di più delle formule.
Detto questo concordo con gugo: le dimostrazioni mi interessano molto di più delle formule.
"Oliver Heaviside":
[quote="gugo82"]Il codice MatLab non fa altro che tabulare (un numero finito di punti de)i grafici di $tan 8x$ e dell'espressione razionale in tangente che si ricava dal secondo membro con la sostituzione $a/b = tan x$ al variare di $x in [0,2pi]$ e -con qualche riga di codice omessa- diagrammarli per ottenere un confronto grafico.
Il problema, come già detto altrove, è: se hai una dimostrazione perché non la posti?
La si controlla insieme e si vede che cosa si può fare.
Se ti limiti a dire secondo me vale questo in questo intervallo, perché pensi che qualcuno abbia voglia di venirti dietro?
P.S.: Non è che ci volesse il ricercatore della Sant'Anna per scrivere quel codice... Mi sarei aspettato qualcosa di più ingegnoso, fossi stato in te.
Io non so nulla di matlab [...][/quote]
MatLab è, fondamentalmente e detto rozzamente, un software di calcolo numerico basato sull'uso di matrici (da cui il nome: Matrix Laboratory).
Fino a che l'ho usato io, MatLab, a differenza di Mathematica, era limitato al calcolo numerico e non aveva routine che consentivano il calcolo simbolico (ad esempio, MatLab non sapeva calcolare la derivata di $e^x$ o scomporre $x^2 -3x +2$, mentre Mathematica sì); non escludo che ciò possa essere cambiato nel frattempo.
[...] conosco due persone che utilizzano Matlab una è mio figlio che è al Cern ma che è talmente impegnato che non voglio disturbarlo, l'altro è l'amico Legendre, anche lui parecchio occupato, ma che spesso verifica volentieri le formule...
Complimenti a figlio ed amico per la posizione lavorativa.
Tuttavia, come detto, quelle fatte da MatLab -almeno vedendo le righe di codice riportate- sembrano solo verifiche numeriche; e le verifiche numeriche, anche se gettano luce sulla possibile validità generale di una formula, come ben sai, svolgono un ruolo diverso da una dimostrazione (non "spiegano perché", ma "mostrano che").
Confesso di non capire il "qualcosa di piu' ingegnoso".
Qualche idea sul perché la cosa valga in generale, intendevo.
Comunque è facilissimo verificare la formula, basta una calcolatrice... Se ad esempio $a=
1, b=8$, la formula è esatta. Mi sembrava di aver capito che il Matlab permette di verificare se la formula postata è esatta.
Dipende da cosa vuol dire per te "verificare".
Se vuol dire "mostrare graficamente", sì.
Se vuol dire "dimostrare", no (almeno vedendo il codice riportato).
Per postare la soluzione dovrei prima imparare a postare i grafici, poi trovare un'atmosfera diversa, diciamo meno scettica ed ostile.
I grafici, con quello che chiedevo -cioè una dimostrazione- non c'entrano granché.
Al massimo, ti serve sapere inserire formule.
Se poi ti serve una rappresentazione geometrica, una volta funzionava il plug-in di GeoGebra, ma ora non va più (mi pare)... Potresti caricare un'immagine, inizialmente, poi si vedrà cosa fare.
P.S. Oliver Heaviside fu espulso dalla Royal Society per indegnità. Aveva scritto un articolo ove, tra l'altro, aveva introdotto quella che oggi viene denominata Delta di Dirac. Ha ricevuto scuse parecchio tempo dopo.
Le cosiddette equazioni di Maxwell le ha scritte lui. Le originali erano venti e utilizzavano i quaternioni.
Sì, la si conosce la Storia.
Proprio per questo nessuno ti ha "espulso", ma ti stiamo chiedendo dove hai trovato problemi.
Grazie per le precisazioni: mi pare di aver letto che caricare una immagine non è permesso.
Non ho capito . "Legendre" mi dice che la formula è giusta, così ha dedotto dal grafico. Appena possibile ne parlerò con lui (le gendre in francese è il genero...)
ciao
Oliver
Non ho capito . "Legendre" mi dice che la formula è giusta, così ha dedotto dal grafico. Appena possibile ne parlerò con lui (le gendre in francese è il genero...)
ciao
Oliver
Oliver, per curiosità, che background hai?
Se non ricordo male, insegnavi Matematica alle superiori; ma laureato in cosa?
Se non ricordo male, insegnavi Matematica alle superiori; ma laureato in cosa?
"gugo82":
Oliver, per curiosità, che background hai?
Se non ricordo male, insegnavi Matematica alle superiori; ma laureato in cosa?
Ho studiato fisica, poi, non potendo frequentare ,sono passato a matematica (indirizzo applicativo, orientamento meccanica). Grazie alle selettività dei concorsi ho rapidamente ottenuto un posto di ruolo (matematica e fisica) in un liceo a 5 minuti da casa..
Ciao
Oliver
P.S.il mio interesse era la fisica matematica....
Ha ragione "Legendre" la formula è esatta .
Esempio:
$tan(8x)=\frac{8ab(b^2-a^2)(b^2-a^2-2ab)(b^2-a^2+2ab)}{(b^2-a^2-2ab)^2(b^2-a^2+2ab)^2-16a^2b^2(b^2-a^2)^2}$
arctan3=71°33'54.18".
Calcolandola tangente di 8arctan3 con la formula o direttamente con la calcolatrice si ottiene $\frac{336}{527}$
Mi interesserebbe molto trovare la formula generale ma dubito di riuscire. Faccio notare che il questa formula non interviene alcuna formula trigonometrica..
$\tanx=\frac{3}{1}$,
$tan(8x)=\frac{24*(-8)*(-2)*(-14)}{(14^2)*(2^2)-16*9*14}=\frac{336}{527}$
Esempio:
$tan(8x)=\frac{8ab(b^2-a^2)(b^2-a^2-2ab)(b^2-a^2+2ab)}{(b^2-a^2-2ab)^2(b^2-a^2+2ab)^2-16a^2b^2(b^2-a^2)^2}$
arctan3=71°33'54.18".
Calcolandola tangente di 8arctan3 con la formula o direttamente con la calcolatrice si ottiene $\frac{336}{527}$
Mi interesserebbe molto trovare la formula generale ma dubito di riuscire. Faccio notare che il questa formula non interviene alcuna formula trigonometrica..
$\tanx=\frac{3}{1}$,
$tan(8x)=\frac{24*(-8)*(-2)*(-14)}{(14^2)*(2^2)-16*9*14}=\frac{336}{527}$
Oliver, non mi pare di aver mai messo in dubbio la validità della formula, né il lavoro del genero... Il punto non è se quella formula valga o meno; il problema è, supponendo che la formula valga come mostrano gli esempi numerici e grafici, chiarire perché vale.
In altre parole, puoi fare tutti i calcoli numerici e tutte le verifiche grafiche che vuoi, ma questi provano solo che la tua uguaglianza è una buona congettura, nulla più.
Se vuoi che quell'uguaglianza diventi un teorema devi darne una dimostrazione che spieghi perché essa vale.
In altre parole, puoi fare tutti i calcoli numerici e tutte le verifiche grafiche che vuoi, ma questi provano solo che la tua uguaglianza è una buona congettura, nulla più.
Se vuoi che quell'uguaglianza diventi un teorema devi darne una dimostrazione che spieghi perché essa vale.
Sono immortale. Esempio: oggi sono vivo.
"Palliit":
Sono immortale. Esempio: oggi sono vivo.
[ot]Wow... te la ruberò![/ot]
"Palliit":
Sono immortale. Esempio: oggi sono vivo.
Comunque la formula è corretta, basta usare tre volte la formula di duplicazione della tangente e qualche prodotto notevole.
"Palliit":
Comunque la formula è corretta, basta usare tre volte la formula di duplicazione della tangente e qualche prodotto notevole.
Ovvio, e questa è una dimostrazione algebrica scarsamente interessante: sono solo conti che, pur servendo a motivare il perché la formula vale, aggiungono ben poco alla sua comprensione.
Ciò che potrebbe essere interessante, come più volte detto, è una dimostrazione geometrica o anche grafica della faccenda... Peccato che OP da quest'orecchio non ci senta.
Suppongo che ciò abbia a che fare coll'invio del risultato a rivista. Dunque, probabilmente, la dimostrazione la leggeremo a stampa.
Visto che la curiosità rimane, spero che OP non sia avaro di riferimenti bibliografici, quando l'avrà pubblicata.
"gugo82":Assolutamente d'accordo, ero solo curioso, visto il modo in cui l' OT l'ha presentata.
Ovvio, e questa è una dimostrazione algebrica scarsamente interessante
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo