Svolgimento integrale

[Sk_Anonymous]

salve, ho difficoltà a risolvere questo integrale:

$int 2/(x^2+9) dx$

potete darmi qualche suggerimento? grazie

[Gi81]

Se te lo scrivo così: $2/9 int (dx)/((x/3)^2+1)$ ti piace di più?

[Sk_Anonymous]

"Gi8":Se te lo scrivo così: $2/9 int (dx)/((x/3)^2+1)$ ti piace di più?

questo sarebbe $2/9 arctan (x/3)$

grazie

[Gi81]

No, non viene quello.

[Sk_Anonymous]

"Gi8":No, non viene quello.

ok, un attimo che lo risolvo per sostituzione

[Sk_Anonymous]

ora dovrei esserci:

$2/9 int 1/((x/3)^2 +1) dx$

$y=x/3 -> dy=1/3 dx$

$2/3 int 1/(y^2 +1) dy=2/3 arctany+c=2/3arctan (1/3)+c$

è corretto?

grazie per l'aiuto

[Gi81]

Corretto.

Prova a generalizzare: quanto fa $int 1/(x^2+a^2) dx$ (con $a in RR^+$)?

[Sk_Anonymous]

"Gi8":Corretto.

Prova a generalizzare: quanto fa $int 1/(x^2+a^2) dx$ (con $a in RR^+$)?

$1/a^2 int1/((x/a)^2+1)dx=(arctan(x/a))/a^2 +c$

grazie mille, ho capito

[Gi81]

No. Stesso errore di prima: viene $1/a *arctan(x/a) +c$

[Sk_Anonymous]

"Gi8":No. Stesso errore di prima: viene $1/a *arctan(x/a) +c$

ma se raccolgo $1/a$ non ottengo questo?

$1/a(1/(x^2/a+a))$

[Gi81]

Stai facendo un po' di confusione:

$int (dx)/(x^2+a^2) = int (dx)/(a^2*( (x^2)/(a^2 ) +1 ) )= 1/(a^2)int (dx)/( (x/a)^2+1) $

Sostituzione: $y= x/a$. Dunque $x= a*y$, cioè $dx = a dy$.

Quindi l'integrale diventa $1/(a^2)int (a dy)/( y^2+1) = a/(a^2) int (dy)/(y^2+1)= 1/a arctan(y)+c = 1/a arctan(x/a) +c$

Riassumendo:\[ \int \frac{\text{d}x}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) +c \]

[Sk_Anonymous]

giusto, dovevo fare la sostituzione, stesso errore di prima
ma ora ho capito davvero grazie a te