Svolgimento di un integrale aiuto !

[aneres93]

come lo risolvo?

[math]\int \frac{2\sqrt{x+3}}{x-1}[/math]

[bimbozza]

Io lo farei per sostituzione.
Poni

[math]t=\sqrt{x+3}[/math]

[math]t^2=x+3 [/math]

[math]x=t^2-3[/math]

[math]x-1=t^2-4[/math]

[math]dx=2tdt[/math]

quindi il tuo integrale diventa

[math]\int \frac{4t^2}{t^2-4}dt[/math]

molto più semplice da gestire...

[aneres93]

non so risolverlo , cioè ok così eseguo poi la divisione tra numeratore e denominatore e mi viene

[math]4\left ( \int 1+\frac{4}{t^{2}-4} \right )[/math]

come vado avanti?

[bimbozza]

Concentriamoci sul contenuto della parentesi:

[math]\int dt+ \int \frac{4}{t^2-4}dt=t+ \int \frac{4}{t^2-4}dt=[/math]

[math]=t+ \int \frac{4}{(t-2)(t+2)}dt=t+ \int ( \frac{A}{t+2}+ \frac{B}{t-2})dt=t+ \int ( \frac{At-2A+Bt+2B}{(t+2)(t-2)} )dt=\\ = t+ \int( \frac{t(A+B)+2(B-A)}{(t+2)(t-2)})dt[/math]

sappiamo che

[math]A+B=0 \\ 2(B-A)=4[/math]

quindi si ricava A=-1 e B=1 ne segue che il nostro integrale diventa

[math]\int \frac{-dt}{t+2}+ \int \frac{dt}{t-2}=-log(t+2)+log(t-2)+cost[/math]

ricomponendo tutto si ha

[math]4(t-log(t+2)+log(t-2))+cost[/math]

e da qui poi torni nella variabile x attraverso la sostituzione.

[aneres93]

ok è vero non ci avevo pensato minimamente! grazie molte!