Svolgere un problema di geometria 2 superiore grazie

[ilnonsecchione]

Mi potreste svolgere questo problema grazie mille!
In un triangolo equilatero ABC i lati sono lunghi 6 cm. A quale distanza da AB occorre condurre una corda PQ parallela ad AB, con P appartiene ad AC e Q appartiene a BC, in modo che il trapezio ABQP abbia area 8radice di 3 cm^2?

Risultato 2 radice di 3 cm

[Yuri.Nardi]

ciao ilnonsecchione,
prima prova a risolvere l'esercizio da te e poi guarda la soluzione:
(osservazione: definisco con sqrt[argomento] la radice quadrata dell'argomento)

anzitutto definiamo ulteriori punti per facilitare la risoluzione del problema:
-punto N è l'intercetta dell'altezza del triangolo da C su AB;
-punto M è l'intercetta dell'altezza del triangolo da C su PQ;

detto questo la soluzione si risolve imponendo la relazione di equivalenza:
A(trapezioAPQB)=8*sqrt[3]
ma sappiamo che l'area del trapezio di base maggiore B e base minore b e di altezza h si scrive come:
A(trapezio)=(B+b)*h/2
che nel caso particolare diventa:
A(trapezioAPQB)=(AB+PQ)*MN/2

e quindi l'equazione da risolvere sarà:
(AB+PQ)*MN/2=8*sqrt[3]

definiamo ora tutte le dimensioni dell'equazione:
AB=6
MN=X
PQ=2*MQ

MQ=CM*tan(BCN)=CM*tan(30)=CM*sqrt[3]/3
dove sappiamo che CM è l'altezza di ABC:
CM=CN-MN=CB*sin(CBA)-X=6*sin(60)-X=6*sqrt[3]/2-X=3*sqrt[3]-X

quindi possiamo scrivere MQ e PQ come:
MQ=(3*sqrt[3]-X)*(sqrt[3]/3)=3-X*sqrt[3]/3
PQ=2*(3-X*sqrt[3]/3)=6-2*X*sqrt[3]/3

passando all'equazione finale e risolvendola rispetto alla X otteniamo l'altezza della corda che soddisfa la condizione:
(6+6-2*X*sqrt[3]/3)*X/2=8*sqrt[3]

ci saranno 2 soluzioni possibili:
1)2*sqrt[3]
2)4*sqrt[3]

di cui posso accettare solo la prima perche' la X puo' variare solo entro l'altezza del triangolo ABC:
0 < e = X < e = 3*sqrt[3]

spero che sia stato chiaro e buono studio :D