Sviluppo in serie di sinx
Per dimostrare che $sinx = x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+......$ sicuraramente si devono avere le seguenti disuguaglianze, $sinx<=x$, $sinx>= x-x^3/(3!)$, $sinx<=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)$, $sinx>= x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)$, e così via,procedendo in questo modo indefinitivamente, diversamente non potrei asserire con certezza che tale espressione polinomiale all'infinito approssimi sempre più il reale valore di $sinx$ comunque preso $x$, mi sbaglio?
Un discorso di questo tipo non deve essere possibile per ogni sviluppo in serie di una funzione?
Sono alle prese con l'argomento "approssimazione di una funzione mediante polinomi" e sto cercando di venirne un pò a capo, sarei grato se qualcuno potrebbe darmi qualche chiarimento in proposito;
Grazie!
Un discorso di questo tipo non deve essere possibile per ogni sviluppo in serie di una funzione?
Sono alle prese con l'argomento "approssimazione di una funzione mediante polinomi" e sto cercando di venirne un pò a capo, sarei grato se qualcuno potrebbe darmi qualche chiarimento in proposito;
Grazie!
Risposte
Ricordo che il prof di analisi I ha fatto una cosa del genere e nel farlo ci aveva preso gusto: sembrava un pazzo scatenato!
Fatto sta lui aveva detto "prendiamo $sin(x) \le x$"
integriamo da $0$ a $x$ e otteniamo $-cos(x)+cos(0) \le x^2/2$ cioè $cos(x)\ge 1 -x^2/2$
integriamo da $0$ a $x$ e otteniamo $sin(x) \ge x-x^3/(3!)$
e così via che in due-tre minuti da forsennato era arrivato all'ottavo ordine lasciandoci "così"
... 
Fatto sta, per concludere, basta cambiare verso quando si cambia di segno, per il resto non credo proprio sia un argomento da sezione secondaria di secondo grado!!!
EDIT.
Ho corretto rileggendo il post, avevo scambiato tutti i versi delle disuguaglianze (però si era capito che era una svista, su
).
Fatto sta lui aveva detto "prendiamo $sin(x) \le x$"
integriamo da $0$ a $x$ e otteniamo $-cos(x)+cos(0) \le x^2/2$ cioè $cos(x)\ge 1 -x^2/2$
integriamo da $0$ a $x$ e otteniamo $sin(x) \ge x-x^3/(3!)$
e così via che in due-tre minuti da forsennato era arrivato all'ottavo ordine lasciandoci "così"
... Fatto sta, per concludere, basta cambiare verso quando si cambia di segno, per il resto non credo proprio sia un argomento da sezione secondaria di secondo grado!!!
EDIT.
Ho corretto rileggendo il post, avevo scambiato tutti i versi delle disuguaglianze (però si era capito che era una svista, su
).
lo sviluppo di Taylor-McLaurin, il mio prof delle superiori ce l'aveva solamente accennato e poi ci disse "lo vedrete all'università, vi ho dato solo un accenno"
Al corso di Analisi 1, ho visto tutto..ma sinceramente non ricordo che il prof ha mai detto $\sin(x)\leq x-x^3/(3!)$
io l'ho sempre visto con l'uguale, ovviamente quando $x\to 0$
comunque concordo con Zero87, che non è un argomento di scuola superiore..
Al corso di Analisi 1, ho visto tutto..ma sinceramente non ricordo che il prof ha mai detto $\sin(x)\leq x-x^3/(3!)$
io l'ho sempre visto con l'uguale, ovviamente quando $x\to 0$
comunque concordo con Zero87, che non è un argomento di scuola superiore..
Scusate, ma non sono del tutto nd'accordo sul fatto che l'argomento non sia da scuola superiore, in quanto per chi ha un minimo di curiosità intellettuale è lecito chiedersi di come vengano calcolati i valori ad esempio della funzione seno, visto che vengono utilizzati nel corso delle superiori, e la risposta a quanto pare non utilizza strumenti che non siano alla portata di un alunno del quinto anno delle superiori.
La dimostrazione di questo fatto l'ho tratta dal libro "che cos'è la matematica".
Partendo dalla ben nota ed elementare disuguaglianza $sinx<=x$, e procedendo integrando , si ha ,
$int_0^x sinx<=int_0^x x$, e calcolando otteniamo la disuguaglianza $1-cosx<=x^2/2$ ciò equivale a dire che
affermare la disuguaglianza $cosx>=1-x^2/2$.
Integrando ancora, si ha, $int_0^x cosx>=int_0^x 1-x^2/2$ e calcolando si ha $sinx>=x-x^3/(3!)$.
Procedendo in questo modo indefinitivamente , possiano ad esempio per quanto riguarda la funzione $sinx$ estrapolare la seguente successione di disuguaglianze:
$sinx<=x$, $sinx>=x-x^3/(3!)$, $sinx<=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)$, $sinx>=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)$,...... e così via.
Adesso se ci si concentra sul termine generale $x^n/(n!)$ si può senza molte difficoltà dedurre che tale termine tende a $0$ per $n$ tendente ad infinito, da ciò segue sempre per $n->infty$ lo sviluppo in serie di $sinx$ appunto $sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+.....$. , poichè i termini della serie sono di segno alternato, questa serie si vede essere
facilmente essere convergente, inoltre ne segue che l'errore commesso arrestandosi nella serie a un termine qualsiasi
non supera, in modulo, il primo termine trascurato.
La dimostrazione di questo fatto l'ho tratta dal libro "che cos'è la matematica".
Partendo dalla ben nota ed elementare disuguaglianza $sinx<=x$, e procedendo integrando , si ha ,
$int_0^x sinx<=int_0^x x$, e calcolando otteniamo la disuguaglianza $1-cosx<=x^2/2$ ciò equivale a dire che
affermare la disuguaglianza $cosx>=1-x^2/2$.
Integrando ancora, si ha, $int_0^x cosx>=int_0^x 1-x^2/2$ e calcolando si ha $sinx>=x-x^3/(3!)$.
Procedendo in questo modo indefinitivamente , possiano ad esempio per quanto riguarda la funzione $sinx$ estrapolare la seguente successione di disuguaglianze:
$sinx<=x$, $sinx>=x-x^3/(3!)$, $sinx<=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)$, $sinx>=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)$,...... e così via.
Adesso se ci si concentra sul termine generale $x^n/(n!)$ si può senza molte difficoltà dedurre che tale termine tende a $0$ per $n$ tendente ad infinito, da ciò segue sempre per $n->infty$ lo sviluppo in serie di $sinx$ appunto $sinx=x-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+.....$. , poichè i termini della serie sono di segno alternato, questa serie si vede essere
facilmente essere convergente, inoltre ne segue che l'errore commesso arrestandosi nella serie a un termine qualsiasi
non supera, in modulo, il primo termine trascurato.
"francicko":
Scusate, ma non sono del tutto nd'accordo sul fatto che l'argomento non sia da scuola superiore, in quanto per chi ha un minimo di curiosità intellettuale è lecito chiedersi di come vengano calcolati i valori ad esempio della funzione seno, visto che vengono utilizzati nel corso delle superiori, e la risposta a quanto pare non utilizza strumenti che non siano alla portata di un alunno del quinto anno delle superiori.
Bene, ottimo, proprio per certe cose c'è la sezione scervelliamoci un po'!
Non faccio polemica, ci mancherebbe, ma "suppongo" - invito i verde vestiti a supportarmi o correggermi - che questa sezione sia dedicata a ciò che effettivamente si fa alle superiori.
Fra l'altro... la dimostrazione di francicko è quella che avevo detto io a parole!
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