Suriettività di una funzione
Buongiorno a tutti,
devo determinare se la funzione $ y=x/(d^2-x^2)$ è invertibile nell'intervallo $ -d
Pe quanto riguarda l'iniettività penso sia sufficiente notare che è continua e con derivata sempre positiva nell'intervallo considerato.
Sulla suriettività mi calcolo l'inversa che mi risulta essere
$y=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4d^2x^2}}{2x}$
Qui però noto che il dominio dell'inversa non coincide con il codominio della funzione iniziale in quanto l'inversa non è definita in x=0 e pertanto la funzione iniziale non è (non dovrebbe essere) suriettiva.
D'altro canto però la mia funzione iniziale calcolata in x=0 vale zero, quindi quel punto non dovrebbe essere problematico...
Cosa sbaglio?
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
Grazie!
devo determinare se la funzione $ y=x/(d^2-x^2)$ è invertibile nell'intervallo $ -d
Pe quanto riguarda l'iniettività penso sia sufficiente notare che è continua e con derivata sempre positiva nell'intervallo considerato.
Sulla suriettività mi calcolo l'inversa che mi risulta essere
$y=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4d^2x^2}}{2x}$
Qui però noto che il dominio dell'inversa non coincide con il codominio della funzione iniziale in quanto l'inversa non è definita in x=0 e pertanto la funzione iniziale non è (non dovrebbe essere) suriettiva.
D'altro canto però la mia funzione iniziale calcolata in x=0 vale zero, quindi quel punto non dovrebbe essere problematico...
Cosa sbaglio?
Qualcuno mi potrebbe aiutare?
Grazie!
Risposte
Lascia perdere l'inversa (anche perché non lo sai se esiste, stai per l'appunto cercando di dimostrare che è invertibile) e concentrati solo sulla funzione iniziale: è definita in tutto quell'intervallo, è continua in quell'intervallo e va da $-infty$ a $+infty$, quindi ...
Sì certo, hai ragione.
Il paradosso è che non ho dubbi sul fatto sia invertibile, ma mi chiedevo come dimostrarlo analiticamente.
E a tal riguardo la cosa che mi turba è che (assumendo sia invertibile) il dominio della inversa non coincida con il codominio della diretta.
Il paradosso è che non ho dubbi sul fatto sia invertibile, ma mi chiedevo come dimostrarlo analiticamente.
E a tal riguardo la cosa che mi turba è che (assumendo sia invertibile) il dominio della inversa non coincida con il codominio della diretta.
Ma no, hai ridenominato le variabili, quella $x$ dell'inversa non è la $x$ della funzione originale ...
Provare l'iniettività nel tuo caso è sufficiente, non serve fare altro, perché una funzione iniettiva diventa invertibile dopo aver ristretto il codominio all'immagine, e in questo caso non serve neanche restringere il codominio dato che l'immagine è $RR$.
Il problema è che alle superiori si parla di funzioni suriettive senza definirle e in ultima analisi senza nemmeno sapere cosa sono.
wanblee, rispondi a questa domanda: qual è la definizione di funzione suriettiva?
Se la cosa ti manda in confusione non preoccuparti, anzi a volte una piccola confusione è utile come provocazione e stimolo.
Poi ti suggerisco di leggere qui (te lo suggerisco caldamente!). E' un vecchissimo filone sulla distinzione tra codominio e immagine, che tengo pronto per casi come questo.
PS. L'espressione "calcolare il dominio" non ha significato. L'anti-immagine di $0$ la puoi calcolare sostituendo, non serve calcolare l'inversa. Inoltre l'inversa non può avere simboli tipo $pm$, perché il $pm$ indica una scelta, e una funzione dev'essere univocamente determinata.
Il problema è che alle superiori si parla di funzioni suriettive senza definirle e in ultima analisi senza nemmeno sapere cosa sono.
wanblee, rispondi a questa domanda: qual è la definizione di funzione suriettiva?
Se la cosa ti manda in confusione non preoccuparti, anzi a volte una piccola confusione è utile come provocazione e stimolo.
Poi ti suggerisco di leggere qui (te lo suggerisco caldamente!). E' un vecchissimo filone sulla distinzione tra codominio e immagine, che tengo pronto per casi come questo.
PS. L'espressione "calcolare il dominio" non ha significato. L'anti-immagine di $0$ la puoi calcolare sostituendo, non serve calcolare l'inversa. Inoltre l'inversa non può avere simboli tipo $pm$, perché il $pm$ indica una scelta, e una funzione dev'essere univocamente determinata.
Ho sempre dimenticato di ringraziarvi per le risposte.
Molte cose mi erano già chiare, ma ho potuto ragionare meglio su qualcos'altro.
Ad maiora!
Molte cose mi erano già chiare, ma ho potuto ragionare meglio su qualcos'altro.
Ad maiora!
Qui però noto che il dominio dell'inversa non coincide con il codominio della funzione iniziale in quanto l'inversa non è definita in x=0 e pertanto la funzione iniziale non è (non dovrebbe essere) suriettiva.
Scusa, ma tu stai cercando tutte le soluzioni (reali) dell'equazione di secondo grado in [tex]x[/tex]
[tex]x^2y+x-d^2y=0, \quad -d\lneq x\lneq d[/tex]
Domanda 1: sotto quali ipotesi si applica la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado? Quindi...
Domanda 2: per ciascun valore di [tex]y\ne 0[/tex] nell'immagine, che abbiamo stabilito essere l'intervallo [tex]\mathbb{R}[/tex] (perché?), troviamo due soluzioni che soddisfano l'equazione. Sono entrambi accettabili? Prova a farti qualche grafico in corrispondenza di alcuni valori di [tex]d[/tex] per capire cosa succede. In corrispondenza di [tex]y=0[/tex], quali e quante sono le soluzioni (reali) dell'equazione?
Domanda 3: considera le due funzioni
[tex]g\colon\mathbb{R}\to(-d,d),\quad h\colon\mathbb{R}\to(-\infty,-d)\cup(d,+\infty)[/tex]
definite da
[tex]g\colon x\mapsto\begin{cases} \frac{-1+\sqrt{1+4d^2x^2}}{2x}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}[/tex]
e
[tex]h\colon x\mapsto\begin{cases} \frac{-1-\sqrt{1+4d^2x^2}}{2x}&x\ne0\\0&x=0\end{cases}[/tex]
cosa puoi notare?
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