Sulla divisione dei polinomi
Ciao a tutti, ho un dubbio che mi assilla sulla divisione dei polinomi,
mi è stato detto che questa divisione non è altro che un estensione della divisione tra numeri interi vista in aritmetica
non riesco a vedere questa cosa, non sono abituato a studiare a memoria quindi vorrei capire bene questo
Sarebbe utile provare a fare una divisione tra numeri interi espressi in forma polinomiale, come per esempio:
se volessi fare $ 325-:13=25 $ riscrivo i numeri in forma polinomiale ponendo $x=10$ per cui avrò: $3x^2+2x+5 -: (x+3)$ se ora provo a fare la divisione tra questi polinomi dovrei ottenere $2x+5$ che sarebbe $25$ ma così non è
qualcuno potrebbe aiutarmi a chiarire le idee su questo?
Grazie a tutti in anticipo.
mi è stato detto che questa divisione non è altro che un estensione della divisione tra numeri interi vista in aritmetica
non riesco a vedere questa cosa, non sono abituato a studiare a memoria quindi vorrei capire bene questo
Sarebbe utile provare a fare una divisione tra numeri interi espressi in forma polinomiale, come per esempio:
se volessi fare $ 325-:13=25 $ riscrivo i numeri in forma polinomiale ponendo $x=10$ per cui avrò: $3x^2+2x+5 -: (x+3)$ se ora provo a fare la divisione tra questi polinomi dovrei ottenere $2x+5$ che sarebbe $25$ ma così non è
qualcuno potrebbe aiutarmi a chiarire le idee su questo?
Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Ma tu sei sicuro di aver fatto correttamente la divisione?
Perché il risultato esatto è $3x-7+26/(x+3)$ e se sostituisci $x=10$ ti ritroverai che quell'espressione vale $25$ ...
Cordialmente, Alex
Perché il risultato esatto è $3x-7+26/(x+3)$ e se sostituisci $x=10$ ti ritroverai che quell'espressione vale $25$ ...
Cordialmente, Alex
Ciao, poiché $325 : 13 = 25$ allora siamo d'accordo che $13*25=325$, ma se provi a fare $(2x+5)(x+3)$ ti accorgerai che è diverso da $3x^2+2x+5$ ... il punto è che $25$ può essere espresso, così come $325$ o $13$, in infiniti modi diversi, dunque la soluzione potrebbe essere tanto $2x+5$ quanto $x+15$ (con x=10 ovviamente). È una prova di ciò il fatto che la soluzione trovata da Alex valga proprio $25$! Se vuoi un'analogia con la divisione tra numeri potresti trovarla secondo me nella procedura che ci insegnano alle elementari per la divisione fatta a mano su un foglio 
Il problema è che con i numeri il resto è sempre un numero positivo, con i polinomi non è detto che lo sia.
Vediamo in che senso la divisione tra polinomi ricalca la divisione tra interi con resto.
$2574:27$, due cifre non bastano, quindi ne prendo 3, il $27$ nel $257$ ci sta $9$ volte, allora sotto al 257 scrivi il risultato del prodotto $27*9=243$ ed esegui la sottrazione $257-243=14$, a fianco del $14$ abbassi il $4$, il $27$ nel $144$ ci sta 5 volte, sotto al $144$ riporti $135$ che è il risultato del prodotto tra $27$ e $5$, di nuovo la sottrazione e ottieni $9$ che è il resto finale.
Vediamo come funziona con i polinomi:
$(x^3+3x^2+5x-20):(x^2-2x+3)=$, per prima cosa dividi $x^3$ per $x^2$ che dà $x$, adesso sotto al polinomio dividendo porti il risultato del prodotto tra il quoziente e il divisore, se lo cambi di segno puoi effettuare direttamente la somma , che con i polinomi è più comoda di una sottrazione fatta al volo, ottieni $x^3+3x^2+5x-20-(x^3-2x^2+3x)=5x^2+2x-20$. Ripeti l'operazione precedente: primo addendo del dividendo diviso primo addendo del divisore...
Alla fine ottieni come quoziente $Q(x)=x+5$ e come resto $12x-5$.
Con i polinomi puoi avere sia coefficienti positivi che negativi, le cifre di un numero hanno tutte lo stesso segno.
Vediamo in che senso la divisione tra polinomi ricalca la divisione tra interi con resto.
$2574:27$, due cifre non bastano, quindi ne prendo 3, il $27$ nel $257$ ci sta $9$ volte, allora sotto al 257 scrivi il risultato del prodotto $27*9=243$ ed esegui la sottrazione $257-243=14$, a fianco del $14$ abbassi il $4$, il $27$ nel $144$ ci sta 5 volte, sotto al $144$ riporti $135$ che è il risultato del prodotto tra $27$ e $5$, di nuovo la sottrazione e ottieni $9$ che è il resto finale.
Vediamo come funziona con i polinomi:
$(x^3+3x^2+5x-20):(x^2-2x+3)=$, per prima cosa dividi $x^3$ per $x^2$ che dà $x$, adesso sotto al polinomio dividendo porti il risultato del prodotto tra il quoziente e il divisore, se lo cambi di segno puoi effettuare direttamente la somma , che con i polinomi è più comoda di una sottrazione fatta al volo, ottieni $x^3+3x^2+5x-20-(x^3-2x^2+3x)=5x^2+2x-20$. Ripeti l'operazione precedente: primo addendo del dividendo diviso primo addendo del divisore...
Alla fine ottieni come quoziente $Q(x)=x+5$ e come resto $12x-5$.
Con i polinomi puoi avere sia coefficienti positivi che negativi, le cifre di un numero hanno tutte lo stesso segno.
Vi ringrazio tutti per le ottime risposte, adesso vedo le cose in modo più chiaro.
Se ho capito bene allora i polinomi possono rappresentare molte cose e non soltanto un numero intero.
Se ho capito bene allora i polinomi possono rappresentare molte cose e non soltanto un numero intero.
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