Sulla continuità di una funzione
..buongiorno a tutti..stavo rivedendo qualche esercizio svolto in classe e, tanto per cambiare, mi sono arenata con un esercizio:
$f(x)={((x+2)/(x-1), if x<=0), ((In(1-2x))/x, if x>0):}$
La prof ha affermato che non è una funzione continua in $x=0$ perchè limite destro e sinistro non coincidono..ma se vado a risolvere i limiti per $x->0$ ottengo lo stesso valore $(-2)$..ma forse non ho molto chiara la questione (o magari c'è il solito error"ino" di calcolo)..spero in qualche delucidazione..grazie!!!
$f(x)={((x+2)/(x-1), if x<=0), ((In(1-2x))/x, if x>0):}$
La prof ha affermato che non è una funzione continua in $x=0$ perchè limite destro e sinistro non coincidono..ma se vado a risolvere i limiti per $x->0$ ottengo lo stesso valore $(-2)$..ma forse non ho molto chiara la questione (o magari c'è il solito error"ino" di calcolo)..spero in qualche delucidazione..grazie!!!
Risposte
Supponi bene. Secondo me non è discontinua per $x = 0$, infatti i due rami della funzione si raccordano.
Inoltre si può dire che nel punto $ x = 1/2 $ è discontinua. Sai dirmi di che specie è tale discontinuità?
PS - In realtà, se la funzione non è definita in un certo punto $x_0$, si suole parlare di singolarità e non di discontuità.
Inoltre si può dire che nel punto $ x = 1/2 $ è discontinua. Sai dirmi di che specie è tale discontinuità?
PS - In realtà, se la funzione non è definita in un certo punto $x_0$, si suole parlare di singolarità e non di discontuità.
..non abbiamo ancora parlato di discontinuità..comunque direi di seconda perchè il limite destro tende a $-infty$..sbaglio? ..quindi la funzione posso dirla continua in $x=0$?
..che differenza c'è tra discontinuità e singolarità?..mi hai incuriosita..
Giusto. Discontinuità di seconda specie.
In Analisi reale si usa parlare di singolarità quando la funzione non è definita nel punto (logicamente un punto di accumulazione). Ossia quando il punto in cui la funzione ha una "discontinuità" non appartiene al dominio. La stragrande maggior parte dei testi del liceo unisce questi due concetti e chiama indistintamente questi punti con il nome di punti di discontinuità (siano o meno essi appartenenti al dominio della funzione).
In verità non esiste una trattazione univoca di questo argomento. Si capisce che gli autori trattano le cose più o meno precisamente in base agli argomenti che seguiteranno.
"Lucky91":
..che differenza c'è tra discontinuità e singolarità?..mi hai incuriosita..
In Analisi reale si usa parlare di singolarità quando la funzione non è definita nel punto (logicamente un punto di accumulazione). Ossia quando il punto in cui la funzione ha una "discontinuità" non appartiene al dominio. La stragrande maggior parte dei testi del liceo unisce questi due concetti e chiama indistintamente questi punti con il nome di punti di discontinuità (siano o meno essi appartenenti al dominio della funzione).
In verità non esiste una trattazione univoca di questo argomento. Si capisce che gli autori trattano le cose più o meno precisamente in base agli argomenti che seguiteranno.
Per capirci, considera le tre funzioni:
$f(x)={((x+2)/(x-1), if x<0), (pi, if x = 0),((ln(1-2x))/x, if x>0):}$
$g(x)={((x+2)/(x-1), if x<0), ((ln(1-2x))/x, if x>0):}$
$h(x)={((x+2)/(x-1), if x<0), (-2, if x = 0),((ln(1-2x))/x, if x>0):}$
La prima funzione $f$ presenta una discontinuità eliminabile nel punto $0$.
La seconda funzione $g$ presenta una singolarità eliminabile nel medesimo punto.
La funzione $h$ è continua nel punto $0$.
$f(x)={((x+2)/(x-1), if x<0), (pi, if x = 0),((ln(1-2x))/x, if x>0):}$
$g(x)={((x+2)/(x-1), if x<0), ((ln(1-2x))/x, if x>0):}$
$h(x)={((x+2)/(x-1), if x<0), (-2, if x = 0),((ln(1-2x))/x, if x>0):}$
La prima funzione $f$ presenta una discontinuità eliminabile nel punto $0$.
La seconda funzione $g$ presenta una singolarità eliminabile nel medesimo punto.
La funzione $h$ è continua nel punto $0$.
..capito!!! Grazie davvero.. 
"Lucky91":
..capito!!! Grazie davvero..
Figurati..
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