Successioni: aggiungere 1 ad an+1

[Pacchjana]

in una successione devo dimostrare che a con enne è minore di a con enne più uno.

a con enne è $n/(n+1)$

io facevo $n/(n+1)$<$n/(n+1)+1$

ma sul libro aggiunge uno al secondo membro della disequazione sia al numeratore che al denominatore ottenendo tutt'altro risultato. qualcuno sa spiegarmi quale è la differenza?

grazie e scusate la profonda ignoranza

[axpgn]

Intendi dire questo?

$a_(n)=n/(n+1)$

$a_n

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[Pacchjana]

sì scusa stavo cercando di scrivere le formule correttamente ma dovrei studiarmi il tutorial mentre sono alle prese con le successioni e quindi lo farò..ma con la calmetta..

[axpgn]

Allora ...

Se questo è $a_(n)=n/(n+1)$ allora $a_(n+1)$ sarà così $a_(n+1)=(n+1)/((n+1)+1)$

Per la dimostrazione partiamo da questa $n^2+2n
Cordialmente, Alex

[Pacchjana]

fantastico. ma perchè dividiamo per (n+1)(n+2): o meglio..come.. (!!)


graziemille!!

[axpgn]

Cioè?

[Pacchjana]

sto imparando la matematica senza andare a scuola quindi ti capisco ma tu capiscimi..

posso dividere per quei termini..per quale motivo? è $n(n+2)-(n+1)^2<0$ oppure come hai scritto $n(n+2)<(n+1)^2$. perchè divido per (n+1)(n+2)? capisco che è sicuramente positivo per via di n appartenente ad N. non capisco come lo "estrapolo"

[axpgn]

"Pacchjana":... ma tu capiscimi..

... ma è proprio perché non ti ho capito che ho scritto "cioè?" ...

"Pacchjana":posso dividere per quei termini..per quale motivo? ...

Non è importante questo, l'importante è la "strada" che ho seguito per trovare la soluzione.
Uno dei tanti (tantissimi, eh ... non esiste un metodo buono per tutte le stagioni) metodi per trovare la soluzione ad un problema è quello di partire dalla "fine".
Cosa significa questo? Vuol dire utilizzare la tesi che si deve dimostrare e tentare di ricavare da essa l'ipotesi di partenza.
E questo ho fatto: partendo dall'espressione finale non è stato difficile risalire all'espressione di partenza.
Attenzione però, perché con questo metodo è facile prendere lucciole per lanterne: il partire dalla "fine" serve SOLO per trovare la strada (o quantomeno le indicazioni di quale essa sia), NON è la dimostrazione della soluzione.
Trovata la strada, riparti dall'ipotesi che avevi e ripercorrendo la strada al contrario (il che non è sempre facile come all'andata ... ) arrivi alla dimostrazione della tesi.
Nel nostro caso ho diviso per quell'espressione perché "all'andata" avevo moltiplicato per quell'espressione ... prova anche tu a fare lo stesso e vedrai che ti ritrovi ...

Cordialmente, Alex

[Pacchjana]

ok. percorrendo l'andata: se moltiplico il numeratore $n/(n+1)$ per (n+2) ottengo $n^2+2n$ che è il primo membro della disequazione dalla quale sei partito anche tu. il denominatore però.. non mi torna. e poi, come uno stabilisce per cosa moltiplicare?

[axpgn]

Allora ... proviamo a percorrere la strada dalla fine ...

Devi dimostrare questo $n/(n+1)<(n+1)/((n+1)+1)$, ok?
Facciamo finta che sia vero (ricordati bene: facciamo finta che sia vero, non lo sappiamo ancora ...)
Per togliere di mezzo il denominatore moltiplico tutto per $n+1$ ed ottengo $n<((n+1)(n+1))/((n+1)+1)$ e poi moltiplico tutto per $(n+1)+1=n+2$ ed ottengo $n(n+2)<(n+1)(n+1)$, adesso sviluppo ed arrivo a $n^2+2n Ma quest'ultima è SEMPRE vera (perché so che se parto da una disequazione vera come questa $0<1$, aggiungendo la stessa quantità ad entrambi i membri, per esempio così $n^2+2n A sto punto mi fermo e dico: se parto da un'espressione che è sempre vera, eseguendo passaggi tutti corretti giungo ad un'altra espressione vera, che nel nostro caso è quella che dovevamo dimostrare.
Spero di essere stato chiaro.

Cordialmente, Alex

[garnak.olegovitc1]

"Pacchjana":
a con enne è $n/(n+1)$
io facevo $n/(n+1)$<$n/(n+1)+1$
ma sul libro aggiunge uno al secondo membro della disequazione sia al numeratore che al denominatore ottenendo tutt'altro risultato. qualcuno sa spiegarmi quale è la differenza?

se hai una successione ovvero una funziona \( a: \Bbb{N} \to \Bbb{R} \) allora la generica immagina di un elemento \(n \in \Bbb{N} \) rispetto ad \(a \) è indicata, per ragioni storiche, con il simbolo \( a_n\) e non alla maniera classica \(a(n)\) (io preferisco non seguire la storia ).. quindi nel tuo caso se ci pensi un attimo $$a_n=\frac{n}{n+1} \; ; \; a_{n+1}=\frac{n+1}{n+1+1} \; ;\; a_n +1=\frac{n}{n+1}+1$$ Ciao

[giammaria2]

Alla spiegazione di axpgn aggiungo il metodo che mi è abituale: quando voglio verificare se una formula è vera la scrivo mettendo sul segno di diseguaglianza (o di eguaglianza) un punto interrogativo che poi ricopio sempre. Qui non saprei bene come fare e lo sostituisco col simbolo $( $n/(n+1)( Do denominatore comune e posso trascurare i denominatori perché positivi; ottengo
$n(n+2)( $n^2+2n( $0(
Se non hai il tempo di consultare tutta la guida te ne do un brevissimo stralcio: $a_n

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[garnak.olegovitc1]

@giammaria [ot]

"giammaria":quando voglio verificare se una formula è vera la scrivo mettendo sul segno di diseguaglianza (o di eguaglianza) un punto interrogativo che poi ricopio sempre. Qui non saprei bene come fare e lo sostituisco col simbolo $( di solito ho visto il punto \( ?\) sopra il segno, ovvero se usi \(\LaTeX\) : $$\stackrel{?}{<}$$ E' possibile ottenere il simbolo da una delle tre stringhe seguenti:

\stackrel{?}{<}

\overset{?}{<}

\mathop ?\limits_<

la terza è leggermente diversa rispetto alle altre due. Si può inserire \(?\) anche sotto i simboli di relazione, ovvero $$\underset{?}{<} $$ usando uno dei codici seguenti

\stackrel{<}{?}

\underset{?}{<} 

\mathop <\limits_?

Io personalmente preferisco usare overset e underset

edit: però sai, in effetti pensandoci è possibile anche sovrapporli e mettere il punto \( ?\) sul \(<\) ed avere questo effetto: $$\rlap{?}{<}$$ usando il comando

\rlap{?}{<}

però è brutto da vedere, penso (ma non sono sicuro) che potresti migliorarlo un pochino spostando il punto \(?\) più a destra ma usando altri pacchetti, e sul forum non è possibile fare queste magie
Ciao[/ot]

[Pacchjana]

ok. ci penso un pò. grazie ancora..axpgn e tutti.. mi farò sentire

grazie!!

[Pacchjana]

"garnak.olegovitc":.. quindi nel tuo caso se ci pensi un attimo $$a_n=\frac{n}{n+1} \; ; \; a_{n+1}=\frac{n+1}{n+1+1} \; ;\; a_n +1=\frac{n}{n+1}+1$$ Ciao

[Pacchjana]

"axpgn":Allora ... proviamo a percorrere la strada dalla fine ...


Cordialmente, Alex

grazie alex, ora mi tornano anche i conti..guardo gli altri esempi e verifico di aver capito. molte molte grazie a tutti. non immaginavo una passeggiata ma sto impazzendo

[Pacchjana]

"giammaria":Alla spiegazione di axpgn aggiungo il metodo che mi è abituale: quando voglio verificare se una formula è vera la scrivo mettendo sul segno di diseguaglianza (o di eguaglianza) un punto interrogativo che poi ricopio sempre.

Se non hai il tempo di consultare tutta la guida te ne do un brevissimo stralcio: $a_n

ok. graziemille. faccio anch'io allora.