Successione limitata

[marcus1121]

Come si deve procedere per dimostrare che la successione
$a_n=n/(n+2)$ è limitata?

Grazie per la collaborazione

[Seneca1]

Beh, intanto $a_n >= 0$ , $\forall n \in NN$; inoltre $ a_n < 1$, $\forall n \in NN$.

[Gi81]

Intanto si ha $a_n>0$ per ogni $n$ naturale.
Due possibilità:
1) il numeratore è sempre minore del denominatore, dunque $a_n<1$
2) $a_n = n/(n+2)= (n+2-2)/(n+2)= (n+2)/(n+2) - 2/(n+2)= 1 -2/(n+2) <1$

edit: pardon, anticipato da Seneca

[marcus1121]

Dovendo analizzare questa successione: $a_n=n+1/n$ ,$ninNN^^n>=1$,ho ragionato così:

$AAn$ $a_n>=l$ allora la successione è limitata inferiormente;
$AAn$ $a_n<=L$ allora la successione è limitata superiormente;
Risolvo adesso la prima disequazione disequazione
$n+1/n>=l=>n^2-nl+1>=0$
Il discriminante è uguale a $l^2-4$ e per $l=+-2=0$
Andiamo a sostituire questo valore nella disequazione ed otteniamo
$n^2-n*2+1>=0=>(n+1)^2>=0$
$n^2-n(-2)+1>=0=>(n-1)^2>=0$
In questa situazione essendo le disequazioni verificate $AAn$ la nostra successione è limitata inferiormente..
Bastava trovare anche un solo caso.
Se risolviamo invece
$ a_n<=L$ ci accorgiamo di non trovare alcuna disequazione soddisfatta $AAn$ e concludiamo dicendo che la nostra successione non è limitata superiormente.

Chiedo se questo procedimento è valido

[marcus1121]

Vi propongo queste successioni:

dovendo stabilire se sono limitate , limitate inferiormente, limitate superiormente ho pensato di fare così:
$a_n=n/(n+2)$
essendo $lim_(n ->+oo)n/(n+2) =1$ affermo che la successione è limitata;
$a_n=n+1/n$
essendo $lim_(n ->+oo)n+1/n =oo$ affermo che la successione è limitata inferiormente;
$a_n=1/n-n$
essendo $lim_(n ->+oo)1/n-n =-oo$ affermo che la successione è limitata superiormente;