Stupida domanda sul periodo

[blackdie]

Come faccio a dimostrare che funzioni del tipo $sin(x^2)$ o $sin(sqrt3x)*cos(x)$ non hanno periodo?


Ciao e grazie

[elgiovo]

Per la prima: basta verificare gli zeri della funzione. Infatti da $x^2=kpi$ si ottiene $x=pmsqrt(kpi)$, quindi gli zeri si avvicinano.

[cozzataddeo]

A me la seconda sembra periodica, anche se non saprei cosí su due piedi calcolare il periodo.

[elgiovo]

Per la seconda direi di usare le formule di Werner: $sin(sqrt3x)*cosx=1/2{sin[x(1+sqrt3)]+sin[x(sqrt3-1)]}$.
La prima sinusoide ha periodo $T_1=(2pi)/(1+sqrt3)$, la seconda $T_2=(2pi)/(sqrt3-1)$. L'equazione $(2pi)/(1+sqrt3)=k(2pi)/(sqrt3-1)$
ammette l'unica soluzione $k=2-sqrt3$, quindi non esiste un multiplo di $T_1$ che "combaci" con un multiplo di $T_2$.

[blackdie]

Grazie.Ma piu in generale posso affermare che se appare un coefficiente irrazionale in funzionidel tipo $sin(ax)cos(x)$ non esiste il periodo xke non esiste il mcm dei due periodi?

[elgiovo]

Si. Infatti, risolvendo l'equazione $(2pi)/(a+1)=k (2pi)/(a-1)$ si trova $k=(a-1)/(a+1)$. Questo valore è intero sse $a=(k+1)/(1-k)$, con $k in NN$, dunque $a$ dev'essere razionale.
Lo stesso vale se si risolve l'equazione $k(2pi)/(a+1)=(2pi)/(a-1)$.

[blackdie]

Scusa, pensavo di aver capito, ma adesso non sono sicuro di aver compreso il tuo metodo.Perche poni $t1=kt2$?Ad esempio se prendiamo $y=tg(x/2)-tg(x/3)$ i periodi sono $t_1=2pi ,t_2=3pi$ ma ponendo $2pi=k3pi$ k non è intero.Cosa c'è che non mi torna?

[elgiovo]

$k$ può anche essere razionale, come ho detto su. In questo caso $k=2/3$ indica che il periodo della funzione si ottiene moltiplicando per $3$ il periodo $t_1$ oppure per $2$ il periodo $t_2$, ottenendo $T=6pi$.