Studio riguardante il segno delle radici.
Buona sera a tutti; domani ho compito e come al solito mi esercito, solo che c'è questo esercizio che non riesco a fare uscire:
$(k^2+1)x^2+2kx-k^2$
Dopo aver trovato il delta che dovrebbe essere $Delta=4k^2(2+k^2)$ quindi sempre positivo; ho unito coefficienti e delta in un grafico di cui però non ottengo le soluzioni desiderate dal libro che sarebbero:
$k<0$: una radice positiva e una negativa
$k=0$:$ x_1=x_2=0$
$k>0$: una radice negativa e una positiva.
per quanto riguarda k>0 e k=0 ottengo i risultati giusti; ma per quanto riguarda k<0 ottengo due variazioni e quindi due radici positive.....
Potreste dirmi dove sbaglio?
Grazie a tutti.
$(k^2+1)x^2+2kx-k^2$
Dopo aver trovato il delta che dovrebbe essere $Delta=4k^2(2+k^2)$ quindi sempre positivo; ho unito coefficienti e delta in un grafico di cui però non ottengo le soluzioni desiderate dal libro che sarebbero:
$k<0$: una radice positiva e una negativa
$k=0$:$ x_1=x_2=0$
$k>0$: una radice negativa e una positiva.
per quanto riguarda k>0 e k=0 ottengo i risultati giusti; ma per quanto riguarda k<0 ottengo due variazioni e quindi due radici positive.....
Potreste dirmi dove sbaglio?
Grazie a tutti.
Risposte
"Math_Team":
$(k^2+1)x^2+2kx-k^2$
A me piace vedere il problema dal punto di vista geometrico.
Le parabole sono tutte rivolte verso l'alto (dal momento che $k^2+1$ è sempre positivo),
mentre l'intersezione con l'asse delle $y$ è il punto $Q=(0,-k^2)$, la cui ordinata è,
perciò, sempre $\leq 0$ (nel caso $k=0$ la parabola è $y=x^2$).
E' quindi chiaro che, escluso il caso $k=0$, la parabola avrà una radice negativa e una positiva.
Tutto questo senza calcolare il Delta e senza altre regolette..
Scusa franced ma io non le ho fatte queste cose gi geometria... faccio il 2 superiroe
Allora il discriminante e' sempre positivo, il coefficiente di $x^2$ anche. Il coefficiente di $x$ e' positivo per $k>0$, il termine noto e' sempre negativo.
Se fai il grafico ti viene variazione-permanenza per $k<0$, permanenza-variazione per $k>0$...
Se fai il grafico ti viene variazione-permanenza per $k<0$, permanenza-variazione per $k>0$...
Nel caso $ k < 0 $ hai i seguenti segni dei vari coefficienti
I coeff : $+$
II coeff. : $-$
IIIcoeff. : $-$
quindi una variazione e una permanenza, pertanto una radice positiva e una negativa.
I coeff : $+$
II coeff. : $-$
IIIcoeff. : $-$
quindi una variazione e una permanenza, pertanto una radice positiva e una negativa.
un attimo controllo
penso che Camillo ti avrà fatto capire il caso specifico che non ti tornava.
io volevo però portarti a riflettere sulla suddivisione dei vari casi:
a>0 per ogni k,
b è di segno opposto rispetto a k, ed è zero se k è zero,
c è zero se k è zero, ed è negativo se k è diverso da zero.
dunque si ha subito:
se $k=0$ l'equazione diventa monomia ($x^2=0$) [in questo caso particolare $Delta=0$, non $Delta>0$],
se $k != 0$ l'equazione è completa, con $a>0 ^^ c<0$.
dunque, sapendo che $Delta>0$ per $k != 0$, ci sono comunque due soluzioni reali di segno opposto.
quale delle due sia maggiore in modulo dipende dal segno di $b$, che è opposto rispetto al segno di $k$ ...
spero sia chiaro. ciao.
io volevo però portarti a riflettere sulla suddivisione dei vari casi:
a>0 per ogni k,
b è di segno opposto rispetto a k, ed è zero se k è zero,
c è zero se k è zero, ed è negativo se k è diverso da zero.
dunque si ha subito:
se $k=0$ l'equazione diventa monomia ($x^2=0$) [in questo caso particolare $Delta=0$, non $Delta>0$],
se $k != 0$ l'equazione è completa, con $a>0 ^^ c<0$.
dunque, sapendo che $Delta>0$ per $k != 0$, ci sono comunque due soluzioni reali di segno opposto.
quale delle due sia maggiore in modulo dipende dal segno di $b$, che è opposto rispetto al segno di $k$ ...
spero sia chiaro. ciao.
A me il grafico esce così....
è sbagliato c (è l'opposto di un quadrato...)
ma sa c è sempre minore di 0 perché il senso è sbagliato?
È sbagliato il segno di $c$, infatti $k^2$ è sempre positivo, ma $c=-k^2$ quindi è sempre negativo, come ti hanno già detto.
nel grafico una cosa sempre negativa va tratteggiata... tu hai fatto la linea continua a sinistra di zero...
Adesso ho capito; grazie a tutti... non avevo notato che se una cosa è sempre negativa allora la linea è tutta tratteggiata come mi ha fatto notare amelia.
Grazie ancora.
A presto.
Grazie ancora.
A presto.
Ulòtima domanda: quindi se una cosa è sempre negativa allora la linea nel grafica deve essere tratteggiata sia a destra che a sinistra??
Grazie ancora
Grazie ancora
Se una cosa è sempre negativa non esiste una destra e una sinistra esiste un sempre tratteggiata.
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