Studio $f(x) = arctan(sqrt(|x|)/(x-1))$

[clivend]

Salve a tutti, vi propongo questo studio di funzione per una revisione (i limiti in particolare, ma anche per quanto riguarda estremi e derivabilità) e qualche chiarimento in quanto devo andarlo a discutere in sede di esame orale.

$f(x) = arctan(sqrt(|x|)/(x-1))$

Determinare dominio, asintoti, studiarne la derivabilità, determinare eventuali estremi relativi, l'estremo superiore e inferiore

Dominio

$x!=1$ V $|x|>=0$ quindi sempre

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CASO 1) $x>=0$

$f(x) = arctan(sqrt(x)/(x-1))$

$lim_(x->0^+) arctan(sqrt(x)/(x-1)) = 0$ senza particolari considerazioni

$lim_(x->1^-) arctan(sqrt(x)/(x-1)) = lim arctan(-oo) = -(pi/2)$

$lim_(x->1^+) arctan(sqrt(x)/(x-1)) = lim arctan(+oo) = (pi/2)$

$lim_(x->+oo) arctan(sqrt(x)/(x-1)) = lim arctan(0) = 0$ in quanto il denominatore è un infinito di ordine superiore

Derivata

$f^(1)x = -((sqrt(x)+(1/sqrt(x)))/(2((x-1)^2+x)))$

Questa è sempre negativa (sarebbe positiva, ma ha il meno davanti). Quindi è sempre decrescente e presenta un salto in x=1 (in virtù dei limiti calcolati sulla f(x))

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CASO 2) $x<0$

$f(x) = arctan(sqrt(-x)/(-x-1))$

$lim_(x->-oo) arctan(sqrt(-x)/(-x-1)) = 0$ in quanto il denominatore è un infinito di ordine superiore

$lim_(x->0^-) arctan(sqrt(-x)/(-x-1)) = 0$


Derivata

$f^(1)x = (1-x)/(2sqrt(-x)(x^2+x+1))$

Il denominatore è sempre positivo mentre il numeratore è positivo per x<1 (il nostro caso). La f(x) qui è sempre crescente.

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Considerazioni

Quindi y=0 asintoto orizzontale, f(x) continua in x=0 e x=1 è un punto di discontinuità di prima specie. Per x>1 si avvicina all'asintoto orizzontale dal di sopra. Per x<0 si avvicina all'asintoto dal di sotto.

$(pi/2)$ e $-(pi/2)$ sono estremi relativi (o assoluti?)

Il dominio della derivata non è lo stesso della funzione originale in quanto la derivata si annulla per x=0, quindi $lim_(x->0^+) f^1(x) = -oo$ e $lim_(x->0^-) f^1(x) = +oo$ quindi f(x) non derivabile in x=0 ma piuttosto questo è un punto di cuspide.

Invece, $lim_(x->1^-) f^1(x) = lim_(x->1^+) f^1(x) = -2$ quindi f(x) derivabile in x=1.

Grafico



Grazie in anticipo a chiunque voglia postare qualche suggerimento e correggere eventuali (anzi, certi) errori.

[giammaria2]

Nel caso 1 è sbagliata la derivata; forse l'hai solo trascritta male. Io ottengo
$f'(x)=-(x+1)/(2sqrtx(x^2-x+1))$
che è sempre negativa nell'intervallo scelto. Non ho controllato oltre, ma da una rapida occhiata mi sembra giusto.
Però il dominio della derivata non è lo stesso di quello della funzione: esclude anche $x=0$ e lo farebbe anche se non ci fosse il cambiamento di segno dei due infiniti.

[clivend]

Ciao! È vero avevo ricopiato male la derivata, ora è in una forma equivalente a quella indicata da te. Inoltre x=0 come dici tu non fa parte del dominio della derivata, infatti avevo appunto calcolato i limiti per x->0. Inoltre penso intendessi dire che per essere derivabile in un punto, la funzione dovrebbe avere i limiti delle derivate sx e dx uguali ed inoltre finiti, esatto?

Chiarito questo, passiamo agli estremi. Credo che per x=0 si abbia un massimo relativo, in quanto la derivata decresce prima e cresce dopo. Inoltre essendo i limiti per x->+-infinito della f(x) uguali a 0, possiamo dire che questo valore è sia un estremo inferiore che superiore? E i punti $+-(pi/2)$ rappresentano qualcosa in particolare?

[giammaria2]

In $x=0$ si ha effettivamente un massimo relativo; la spiegazione però dovrebbe essere " in quanto la funzione cresce prima e decresce dopo" oppure "in quanto la derivata è positiva prima e negativa dopo".
Invece $y=0$ non è estremo né superiore né inferiore perché ci sono punti della curva con $y$ sia maggiore che minore di quello. L'estremo superiore è $pi/2$ e quello inferiore $-pi/2$.

[clivend]

grazie gianmaria adesso credo sia tutto piuttosto chiaro , alla prossima!