Studio funzione logaritma fratta con doppio valore assoluto

[insule23]

ciao vorrei avere il vostro aiuto con la seguente funzione e il grafico

[math]
y(x)=log | \frac{ | x |+1}{ | x |-1} | [/math]

ho iniziato a calcolare il dominio e risulta essere:

[math] D=\{ x\in \mathbb{R}:x

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := \log\left|\frac{|x| + 1}{|x| - 1}\right|\\[/math]

essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne \pm 1 \right\}\\[/math]

e dal momento che si nota essere

[math]f(-x) = \log\left|\frac{|-x| + 1}{|-x| - 1}\right| = \log\left|\frac{|x| + 1}{|x| - 1}\right| = f(x)\\[/math]

si ha che

[math]f[/math]

è una funzione pari, ossia simmetrica rispetto all'asse delle
ordinate. Proprio per questo motivo è possibile studiare

[math]f[/math]

solamente per

[math]x \ge 0\\[/math]

e alla fine specchiare il tutto rispetto all'asse delle ordinate.

Quindi, considerando la funzione

[math]f^+ : [0,\,+\infty) \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f^+(x) := \log\left|\frac{x + 1}{x - 1}\right|\\[/math]

notando che si ha

[math]\begin{aligned} & f^+(0) = 0 \\ & f^+(x) = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x = 0 \end{aligned}\\[/math]

segue che il grafico di

[math]f^+[/math]

interseca gli assi solo nell'origine

[math]O(0,\,0)\\[/math]

.

Passando allo studio del segno di

[math]f^+\\[/math]

in

[math]\text{dom}[f^+][/math]

, si ha:

[math]f^+(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; 0 < x < 1 \, \vee \, x > 1\\[/math]

quindi

[math]f^+[/math]

è non negativa per

[math]\forall\, x \in \text{dom}[f^+]\\[/math]

.

Per quanto concerne lo studio di

[math]f^+\\[/math]

ai limiti del proprio dominio, si ha

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 1^-} f^+(x) = + \infty\,, \; \; \; \lim_{x \to 1^+} f^+(x) = + \infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f^+(x) = 0 \,, \end{aligned}\\[/math]

da cui consegue che

[math]f^+[/math]

presenta un asintoto verticale (destro e sinistro)
di equazione cartesiana

[math]x = 1[/math]

e un asintoto orizzontale di equazione
cartesiana

[math]y = 0\\[/math]

.

È il momento quindi di studiare il segno di

[math]{f^+}'[/math]

in

[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]

:

[math]{f^+}'(x) = \frac{2}{1 - x^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 \le x < 1 \\[/math]

da cui segue che

[math]f^+[/math]

presenta un minimo relativo per

[math]x = 0[/math]

(che in
base allo studio ai limiti risulta essere punto di minimo assoluto per

[math]f^+\small [/math]

),
è crescente per

[math]0 < x < 1[/math]

, è decrescente per

[math]x > 1\\[/math]

.

Notando, inoltre, che si ha

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 0^+} {f^+}'(x) = 2 \end{aligned}\\[/math]

per via della simmetria di

[math]f[/math]

rispetto all'asse delle ordinate, in

[math]O[/math]

risulta
avere un punto angoloso (dunque ivi non è derivabile), che risulta essere
minimo assoluto per

[math]f\\[/math]

(lo si noterà molto bene nel grafico!).

Infine, per quanto concerne lo studio del segno di

[math]{f^+}''[/math]

in

[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]

:

[math]{f^+}''(x) = \frac{4\,x}{\left(1 - x^2\right)^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 \le x < 1 \, \vee \, x > 1\\[/math]

da cui segue che

[math]f^+[/math]

è convessa per

[math]\forall\,x \in \text{dom}[f^+]\\[/math]

.

In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di

[math]f\\[/math]

è

e questo conclude l'esercizio. ;)

[insule23]

grazie mille