Studio funzione fratta con logaritmo al quadrato
ciao vorrei avere il vostro aiuto con la seguente funzione e il grafico
ho iniziato a calcolare il dominio e risulta essere:
la funzione è dispari.
l'intersezione con gli assi si ha soltanto con l'asse x,perchè quella con l'asse y(x=0) è esclusa dal dominio.
pertanto i punti di intersezione risultano:
è corretto quello che ho fatto?
dopo cosa devo fare...
se mi potete aiutare mostrandomi i vari passaggi..
fatemi sapere..
grazie.
[math]
y(x)= \frac{log^{2} | x|-1}{x} [/math]
y(x)= \frac{log^{2} | x|-1}{x} [/math]
ho iniziato a calcolare il dominio e risulta essere:
[math] D={ x\in \mathbb{R}:x< 0 , x>0} [/math]
la funzione è dispari.
l'intersezione con gli assi si ha soltanto con l'asse x,perchè quella con l'asse y(x=0) è esclusa dal dominio.
pertanto i punti di intersezione risultano:
[math] A(\frac{1}{e},0) [/math]
[math] B(e,0) [/math]
è corretto quello che ho fatto?
dopo cosa devo fare...
se mi potete aiutare mostrandomi i vari passaggi..
fatemi sapere..
grazie.
Risposte
Ciò che hai calcolato è corretto, ottimo!! Ma a fronte di una decina di studi di funzione che ti ho risolto nel dettaglio non puoi scrivere nemmeno per scherzo "dopo cosa devo fare..." perché è una assurdità bella e buona!! Tanto per dire, questa è una funzione dispari, no? Bene, mettiti a tutto schermo questa risoluzione e ripercorrila passo-passo. Ti pare difficile? Suvvia, un po' di spirito, insule23!!
ok hai ragione..
ora scrivo il mio svolgimento.
Studio il segno della funzione.
La funzione risulta:
positiva per
e
x > e .
negativa per x < 0 e
calcolo i limiti agli estremi del dominio.
quindi y=0 è asintoto orizzontale
essendo
poichè m deve essere diverso da zero, non esistono asintoti obliqui.
Per
allora x=0 è asintoto verticale.
La derivata prima è:
la derivata è:
crescente per [math]e^{1-\sqrt{2}}
ora scrivo il mio svolgimento.
Studio il segno della funzione.
[math]
y(x)= \frac{log^{2} | x|-1}{x} >0 [/math]
y(x)= \frac{log^{2} | x|-1}{x} >0 [/math]
La funzione risulta:
positiva per
[math] 0 < x < \frac{1}{e} [/math]
e
x > e .
negativa per x < 0 e
[math] \frac{1}{e} < x < e [/math]
calcolo i limiti agli estremi del dominio.
[math]\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{log^{2}\left | x \right |-1}{x}=0[/math]
quindi y=0 è asintoto orizzontale
essendo
[math]m=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{log^{2}\left | x \right |-1}{x}}{x}=0[/math]
poichè m deve essere diverso da zero, non esistono asintoti obliqui.
Per
[math]\lim_{x\rightarrow 0^{+} }\frac{log^{2}\left | x \right |-1}{x}=+\infty [/math]
allora x=0 è asintoto verticale.
La derivata prima è:
[math]y'(x)=\frac{2(logx)\cdot \frac{1}{x}\cdot x-(log^{2}(x)-1)}{x^{2}}=[/math]
[math]=\frac{2(logx) -log^{2}(x)+1}{x^{2}}[/math]
la derivata è:
crescente per [math]e^{1-\sqrt{2}}
Come sopra scritto, abbiamo detto che basta studiare
ossia studiare la propria restrizione
e proposizioni del tipo "è negativa per x < 0" è priva di senso, in quanto
ivi la funzione
quando scrivi dove è decrescente: scrivere solo
bensì occorre scrivere
vero molto bene. Ti faccio notare che quel minimo relativo che hai indivi-
duato, via dello studio ai limiti del dominio, risulta pure minimo assoluto
per
studio della derivata seconda (che hai svolto correttamente).
Arrivati a questo punto, per tracciare il grafico è sufficiente assemblare tutte
le informazioni raccolte dallo studio di funzione: prima si traccia il grafico di
quello delle ascisse (come mostrato nel dettaglio al link sopra riportato). ;)
[math]f[/math]
per [math]x > 0[/math]
, ossia studiare la propria restrizione
[math]f^+ : (0,\,+\infty) \to \mathbb{R}[/math]
definita da [math]f^+(x) := \frac{\log^2 x - 1}{x}[/math]
, dove ovviamente il modulo lo possiamo "togliere" e proposizioni del tipo "è negativa per x < 0" è priva di senso, in quanto
ivi la funzione
[math]f^+[/math]
che stiamo studiando non è definita!! Stesso discorso quando scrivi dove è decrescente: scrivere solo
[math]x < e^{1 - \sqrt{2}}[/math]
è scorretto, bensì occorre scrivere
[math]0 < x < e^{1 - \sqrt{2}}[/math]
. In ogni modo, per il resto dav-vero molto bene. Ti faccio notare che quel minimo relativo che hai indivi-
duato, via dello studio ai limiti del dominio, risulta pure minimo assoluto
per
[math]f^+[/math]
; inoltre, non hai specificato i punti di flesso individuati dallo studio della derivata seconda (che hai svolto correttamente).
Arrivati a questo punto, per tracciare il grafico è sufficiente assemblare tutte
le informazioni raccolte dallo studio di funzione: prima si traccia il grafico di
[math]f^+[/math]
, quindi lo si specchia rispetto all'asse delle ordinate, quindi rispetto a quello delle ascisse (come mostrato nel dettaglio al link sopra riportato). ;)
ok va bene..
per i punti di flesso abbiamo che sono:
e
Per il grafico la tracciato in questo modo:
http://it.tinypic.com/r/mjw9k3/8
è corretto?
fammi sapere.
grazie.
per i punti di flesso abbiamo che sono:
[math] x= 1 [/math]
e
[math] x= e^{3} [/math]
Per il grafico la tracciato in questo modo:
http://it.tinypic.com/r/mjw9k3/8
è corretto?
fammi sapere.
grazie.
Per i flessi ok, mentre per quanto riguarda il grafico purtroppo quel link
non porta ad alcuna foto. In ogni modo, procedendo come descritto sopra,
zoomando nei pressi dell'origine il grafico di
dove è apprezzabile il punto di minimo relativo (e assoluto) della restrizione
scala il grafico di
dove è apprezzabile il punto di massimo relativo della
restrizione
Fine. ;)
non porta ad alcuna foto. In ogni modo, procedendo come descritto sopra,
zoomando nei pressi dell'origine il grafico di
[math]f\\[/math]
risulta essere il seguente:dove è apprezzabile il punto di minimo relativo (e assoluto) della restrizione
[math]f^+[/math]
(e il suo simmetrico rispetto all'origine), mentre zoommando a "grande" scala il grafico di
[math]f[/math]
risulta essere quest'altro:dove è apprezzabile il punto di massimo relativo della
restrizione
[math]f^+\\[/math]
(e il suo simmetrico rispetto all'origine).Fine. ;)
grazie mille :-)
Questa discussione è stata chiusa
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo