Studio funzione fratta

[insule23]

salve dovrei svolgere lo studio e il grafico della funzione:

[math]y\left ( x \right )=\frac{x}{1+log\left | x \right |}[/math]

ho cominciato a svolgerlo spezzando la funzione eliminando il valore assoluto

[math]\left\{\begin{matrix}
\frac{x}{1+log (-x) } & x0
\end{matrix}\right.[/math]

calcolando il dominio ovvero:

[math]D=\left \{ x\in \mathbb{R}, x

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := \frac{x}{1 + \log|x|}\\[/math]

essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne 0, \; x \ne \pm \frac{1}{e} \right\}\\[/math]

e dal momento che si nota essere

[math]f(-x) = \frac{-x}{1 + \log|-x|} = -\frac{x}{1 + \log|x|} = - f(x)\\[/math]

si ha che

[math]f[/math]

è una funzione dispari, ossia simmetrica rispetto all'origine
degli assi. Proprio per questo motivo è possibile (leggasi: doverso) studiare

[math]f[/math]

solamente per

[math]x > 0[/math]

e alla fine specchiare il tutto rispetto all'asse
delle ordinate, quindi rispetto a quello delle ascisse.

Dunque, considerando la funzione

[math]f^+ : (0,\,+\infty) \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f^+(x) := \frac{x}{1 + \log x} \,,\\[/math]

per quanto concerne le intersezioni con gli assi cartesiani è evidente che
non ne esistono, mentre per quanto riguarda lo studio del segno, si ha:

[math]f^+(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; x > \frac{1}{e}\\[/math]

quindi

[math]f^+[/math]

è negativa per

[math]0 < x < \frac{1}{e}[/math]

, è positiva per

[math]x > \frac{1}{e}\\[/math]

.

Per quanto concerne lo studio di

[math]f^+\\[/math]

ai limiti del proprio dominio, si ha

[math]\begin{aligned} & \lim_{x \to 0^+} f^+(x) = 0 \,, \; \; \; \; \lim_{x \to \left(\frac{1}{e}\right)^-} f^+(x) = - \infty\,, \\ & \lim_{x \to \left(\frac{1}{e}\right)^+} f^+(x) = +\infty \,, \; \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f^+(x) = +\infty\,,\end{aligned}\\[/math]

da cui consegue che la retta di equazione cartesiana

[math]x = \frac{1}{e}[/math]

è asintoto
verticale (destro e sinistro) per

[math]f^+[/math]

, mentre non esiste asintoto orizzon-
tale: è possibile che vi sia un asintoto obliquo. Dato che

[math]\begin{aligned}
& m \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{f^+(x)}{x} = 0 \\
\end{aligned}\\[/math]

ne consegue che non esiste nemmeno un asintoto obliquo.

È il momento quindi di studiare il segno di

[math]{f^+}'[/math]

in

[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]

:

[math]{f^+}'(x) = \frac{\log x}{(1 + \log x)^2} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x \ge 1 \\[/math]

da cui segue che

[math]\small f^+[/math]

è decrescente per

[math]\small 0 < x < \frac{1}{e}[/math]

e per

[math]\small \frac{1}{e} < x < 1[/math]

,
presenta un minimo relativo

[math]M[/math]

per

[math]x = 1[/math]

, è crescente per

[math]x > 1\\[/math]

.

Notando, inoltre, che si ha

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 0^+} {f^+}'(x) = 0 \end{aligned}\\[/math]

si deduce che ivi il grafico di

[math]f^+\\[/math]

presenta tangente orizzontale.

Infine, per quanto concerne lo studio del segno di

[math]{f^+}''[/math]

in

[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]

:

[math]{f^+}''(x) = \frac{1 - \log x}{x\left(1 + \log x\right)^3} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; \frac{1}{e} < x \le e\\[/math]

da cui segue che

[math]f^+[/math]

è concava per

[math]0 < x < \frac{1}{e}[/math]

, è convessa per

[math]\frac{1}{e} < x < e[/math]

, presenta un flesso

[math]F[/math]

per

[math]x = e[/math]

ed è nuovamente
concava per

[math]x > e\\[/math]

.

In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di

[math]f^+\\[/math]

è

specchiandolo rispetto all'asse dell ordinate, si ha

ed infine specchiando la parte tratteggiata rispetto all'asse delle
ascisse si ottiene finalmente il grafico di

[math]f\\[/math]

come da richiesta:

Lo studio di tale funzione può considerarsi concluso. ;)

[insule23]

grazie mille :-)