Studio funzione esponenziale fratta

[insule23]

salve mi servirebbe il vostro aiuto con questo esercizio.

Studiare e rappresentare la funzione:

[math]f(x)= x\, \, e^{\frac{1}{1+x}}[/math]

ho provato a svolgerlo cosi:
la funzione data esiste :

[math]\left \{ x\in \mathbb{R}: x\not\equiv -1 \right \}[/math]

se mi dite come continuare..
se mi potete aiutare anche mostrando i vari passaggi..
grazie..

[Studente Anonimo]

Dunque, data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := x\,e^{\frac{1}{x + 1}}\\[/math]

essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \ne - 1 \right\}\\[/math]

e interseca gli assi cartesiani nel solo punto

[math]O(0,\,0)\\[/math]

.

Per quanto concerne il segno di

[math]f\\[/math]

, si ha

[math]f(x) > 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x > 0\\[/math]

quindi

[math]f[/math]

è negativa per

[math]x < 0 \, \land \, x \ne -1[/math]

e positiva per

[math]x > 0\\[/math]

.

Passando allo studio di

[math]f\\[/math]

ai limiti, si ha

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \pm \infty\,, \; \; \; \lim_{x \to (-1)^-} f(x) = 0\,, \; \; \; \lim_{x \to (-1)^+} f(x) = -\infty \end{aligned}\\[/math]

da cui consegue che

[math]x = -1[/math]

è asintoto verticale (sinistro) per

[math]f[/math]

, mentre
non esistono asintoti orizzontali per

[math]\small f\\[/math]

: è possibile che vi siano asintoti obliqui.

Dato che si ha

[math]\begin{aligned} m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1\,, \; \; \; q = \lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - m\,x] = 1 \end{aligned}\\[/math]

ne consegue che

[math]y = x + 1[/math]

è asintoto obliquo per

[math]f\\[/math]

.

È il momento quindi di studiare il segno di

[math]f'[/math]

in

[math]\text{dom}[f]\\[/math]

:

[math]f'(x) = \frac{x^2 + x + 1}{(x + 1)^2}\,e^{\frac{1}{x + 1}} > 0 \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \text{dom}[f]\\[/math]

da cui segue che

[math]f[/math]

cresce per qualsiasi

[math]x \ne - 1\\[/math]

. Notevole è che

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to (-1)^-} f'(x) = 0\end{aligned}\\[/math]

ove il grafico di

[math]f\\[/math]

presenta tangente orizzontale.

Per quanto concerne lo studio del segno di

[math]f''[/math]

in

[math]\text{dom}[f]\\[/math]

:

[math]f''(x) = - \frac{x + 2}{(x + 1)^4}\,e^{\frac{1}{x + 1}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \le - 2\\[/math]

da cui segue che

[math]f[/math]

è convessa per

[math]x < - 2[/math]

, presenta un punto
di flesso per

[math]x = - 2[/math]

ed è concava per

[math]x > - 2 \, \land \, x \ne - 1\\[/math]

.

In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di

[math]f\\[/math]

è

Con questo direi che è davvero tutto. ;)


Nota bene: questo è il terzo studio di funzione che ti fornisco al completo in
pochi giorni, curato in ogni dettaglio rilevante. Quindi, se dovessi riscontrare
difficoltà in altri studi di funzione dovrai mostrare i passaggi che ora dovresti
aver ben compreso: frasi del tipo "non so continuare" riguardanti la procedura
in sé non saranno più credibili. D'altro canto, saremo sempre pronti ad aiutarti
in difficoltà localizzate, ossia nella risoluzione di disequazioni, limiti, derivate
e similari. Spero sia sufficientemente chiaro.

[insule23]

Ok va bene..
Grazie mille :-)