Studio funzione esponenziale con valore assoluto

[insule23]

salve dovrei svolgere lo studio e il grafico della funzione:

[math]y(x)= (x-1)e^{-\left | x \right |}[/math]

ho cominciato a svolgerlo .

La funzione y è definita in

[math]\mathbb{R}[/math]

e non ha simmetrie.

Poichè la funzione esponenziale è positiva, il segno di y coincide con quello del polinomio

[math]x-1[/math]

,
dunque

[math]y(x)=0[/math]

per

[math]x=1[/math]

,

[math]y(x)>0[/math]

per

[math]x > 1[/math]

[math]y(x)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := (x - 1)\,e^{- |x|} = \begin{cases} (x - 1)\,e^{x} & \text{se} \; x < 0 \\ (x - 1)\,e^{- x} & \text{se} \; x \ge 0 \end{cases}\\[/math]

essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \mathbb{R}\,,\\[/math]

dal momento che si ha

[math]\begin{aligned} & f(0) = - 1 \\ & f(x) = 0 \; \Leftrightarrow \; x = 1 \end{aligned}\\[/math]

ne consegue che il grafico di

[math]f[/math]

interseca gli assi cartesiani nei punti

[math]A(0,\,-1)[/math]

e

[math]B(1,\,0)[/math]

, mentre per quanto riguarda il segno di

[math]f[/math]

,
dato che si ha

[math]f(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; x > 1\\[/math]

ne consegue che

[math]f[/math]

è negativa per

[math]x < 1[/math]

, è positiva per

[math]x > 1\\[/math]

.

Per quanto concerne lo studio di

[math]f\\[/math]

ai limiti del proprio dominio, si ha

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\,, \end{aligned}\\[/math]

ne consegue che

[math]f[/math]

non presenta asintoti verticali, bensì solamente un
asintoto orizzontale di equazione cartesiana

[math]y = 0\\[/math]

.

È il momento quindi di studiare il segno di

[math]f'[/math]

in

[math]\text{dom}[f]\\[/math]

. Dato che

[math]f'(x) = \begin{cases} x\,e^x & \text{se} \; x < 0 \\ (2 - x)\,e^{- x} & \text{se} \; x > 0 \end{cases}\\[/math]

si ha

[math]f'(x) \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; 0 < x \le 2\\[/math]

da cui consegue che

[math]f[/math]

è decrescente per

[math]x < 0[/math]

, è crescente per

[math]\small 0 < x < 2[/math]

, presenta un punto di massimo relativo M per

[math]\small x = 2[/math]

(e
dato che

[math]f(2) = e^{-2}[/math]

in base allo studio ai limiti si scopre essere
punto di massimo assoluto per

[math]f[/math]

), è decrescente per

[math]x > 2\\[/math]

.

Notando, inoltre, che

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0\,, \; \; \; \lim_{x \to 0^+} f'(x) = 2 \end{aligned}\\[/math]

si deduce che in

[math]A[/math]

la funzione

[math]f[/math]

non è derivabile, bensì presenta
un punto angoloso; in base allo studio ai limiti si nota che tale punto
è di minimo assoluto per

[math]f\\[/math]

.

Infine, per quanto concerne lo studio del segno di

[math]f''[/math]

in

[math]\text{dom}[f][/math]

,
dato che

[math]f''(x) = \begin{cases} (x + 1)\,e^x & \text{se} \; x < 0 \\ (x - 3)\,e^{- x} & \text{se} \; x > 0 \end{cases}\\[/math]

si ha

[math]f''(x) \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; - 1 \le x < 0 \, \vee \, x \ge 3\\[/math]

da cui consegue che

[math]f[/math]

è concava per

[math]x < -1[/math]

, presenta un flesso

[math]F_1[/math]

per

[math]x = - 1[/math]

, è convessa per

[math]- 1 < x < 0[/math]

, è nuovamente
concava per

[math]0 < x < 3[/math]

, presenta un flesso

[math]F_2[/math]

per

[math]x = 3[/math]

, è
nuovamente convessa per

[math]x > 3\\[/math]

.

In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di

[math]f\\[/math]

è

e con questo direi che è tutto. ;)

[insule23]

grazie mille:-)