Studio funzione esponenziale con radice

[insule23]

salve mi servirebbe il vostro aiuto con questo esercizio.

Studiare e rappresentare la funzione:

[math]f(x)= e^{-x}\sqrt{ | x-1 |}[/math]

Io ho provato a svolgerlo cosi:
la funzione data esiste

[math]\forall x\, \in \, \mathbb{R}[/math]

.

Tenendo conto che

[math]e^{-x}>0 \forall x\, \in \, \mathbb{R} [/math]

,
deduco che il grafico della funzione incontra gli assi solo nell'origine

[math]O (0;0)[/math]

.

è giusto?
non saprei come continuare..
se mi potete aiutare anche mostrando i vari passaggi..
grazie..

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := e^{-x} \sqrt{|x - 1|}\\[/math]

essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \mathbb{R}[/math]

e dato che

[math]f(0) = 1[/math]

il proprio grafico interseca l'asse delle ordinate
in

[math]A(0,\,1)[/math]

, mentre dato che

[math]\small f(x) = 0 \; \Leftrightarrow \; x = 1[/math]

interseca quello
delle ascisse in

[math]B(1,\,0)\\[/math]

.

Per quanto concerne il segno di

[math]f\\[/math]

, si ha

[math]f(x) > 0 \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \text{dom}[f] \; , \\[/math]

quindi

[math]f[/math]

è non negativa per qualsiasi

[math]x\\[/math]

reale.

Passando allo studio di

[math]f\\[/math]

ai limiti, si ha

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \end{aligned}\\[/math]

da cui consegue che

[math]y = 0[/math]

è asintoto orizzontale per

[math]f[/math]

per

[math]\small x \to +\infty[/math]

,
mentre non esiste asintoto orizzontale per

[math]\small x \to -\infty[/math]

: è possibile che vi sia
un asintoto obliquo.

Dato che si ha

[math]\begin{aligned}m \overset{?}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = -\infty\end{aligned}\\[/math]

si appura l'assenza anche di asintoti obliqui per

[math]f\\[/math]

.

È il momento quindi di studiare il segno di

[math]f'[/math]

in

[math]\text{dom}[f]\\[/math]

:

[math]f'(x) = e^{-x}\frac{3 - 2x}{2}\frac{x - 1}{\sqrt{|x-1|^3}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; 1 < x \le \frac{3}{2} \\[/math]

da cui segue che

[math]f[/math]

decresce per

[math]x < 1\,\vee \, x > \frac{3}{2}[/math]

, cresce per

[math]\small 1 < x < \frac{3}{2}[/math]

e presenta un punto di massimo relativo in

[math]\small C\left(\frac{3}{2},\,\frac{1}{\sqrt{2\,e^3}}\right)\\[/math]

.

Inoltre, dal momento che si ha

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 1^-} f'(x) = - \infty\,, \; \; \; \; \lim_{x \to 1^+} f'(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]

in

[math]B[/math]

[math]f[/math]

presenta un punto di cuspide che in base allo studio
ai limiti si evince essere un punto di minimo assoluto per

[math]f\\[/math]

.

Per quanto concerne lo studio del segno di

[math]f''[/math]

in

[math]\text{dom}[f]\\[/math]

:

[math]f''(x) = e^{-x}\frac{4\,x^2 - 12\,x + 7}{4}\frac{(x - 1)^2}{\sqrt{|x-1|^7}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \le \frac{3 - \sqrt{2}}{2} \, \vee \, x \ge \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\\[/math]

da cui segue che

[math]f[/math]

è convessa per

[math]x < \frac{3 - \sqrt{2}}{2} \, \vee \, x > \frac{3 + \sqrt{2}}{2}[/math]

, presenta
due punti di flesso per

[math]x = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{2}[/math]

ed è concava per

[math]\frac{3 - \sqrt{2}}{2} < x < \frac{3 + \sqrt{2}}{2}\\[/math]

.

In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di

[math]f[/math]

è

Con questo direi che è davvero tutto. ;)

[insule23]

grazie mille :-)