Studio funzione con radice fratta
salve mi servirebbe il vostro aiuto con questo esercizio.
Studiare e rappresentare la funzione:
ho provato a svolgerlo.
L'insieme di esistenza ella funzione è dato dai valori di x che soddisfano la disequazione
cioè
quindi la funzione è definita in
Intersezioni con gli assi: interseca gli assi cartesiani nel solo punto
Per lo studio del segno abbiamo che f(x)>0 per ogni x del campo di esistenza in quanto un radicale è sempre positivo.
Ora dobbiamo calcolare i limiti agli estremi del C.E..
Abbiamo quindi:
fin qui è giusto?fatemi sapere..
non sò come fare con i limiti e le derivate..
se mi potete dare una mano per proseguire.
grazie..
Studiare e rappresentare la funzione:
[math]f(x)= x\, \sqrt{\frac{2x}{x+3}}[/math]
ho provato a svolgerlo.
L'insieme di esistenza ella funzione è dato dai valori di x che soddisfano la disequazione
[math]\sqrt{\frac{2x}{x+3}}\geq 0[/math]
cioè
[math]x< -3\vee x\geq 0[/math]
quindi la funzione è definita in
[math]D=\left \{ \forall x\in \mathbb{R}: x< -3\vee x\geq 0\right \}[/math]
Intersezioni con gli assi: interseca gli assi cartesiani nel solo punto
[math]O(0,0)[/math]
Per lo studio del segno abbiamo che f(x)>0 per ogni x del campo di esistenza in quanto un radicale è sempre positivo.
Ora dobbiamo calcolare i limiti agli estremi del C.E..
Abbiamo quindi:
[math]\lim_{x\rightarrow \pm \infty } x\, \sqrt{\frac{2x}{x+3}}\rightarrow \lim_{x\rightarrow \pm \infty } x\, \sqrt{\frac{x(2)}{x(1+\frac{3}{x})}} = \pm \infty \sqrt{2}= \pm \infty [/math]
fin qui è giusto?fatemi sapere..
non sò come fare con i limiti e le derivate..
se mi potete dare una mano per proseguire.
grazie..
Risposte
Dunque, attenta che devi imporre il radicando maggiore o uguale a zero,
non il radicale; in ogni modo, il dominio che hai determinato è corretto.
Altrettanto corretta l'analisi sui punti di intersezione con gli assi, mentre
hai sbagliato lo studio del segno della funzione: ti sei dimenticata del fat-
to che la radice è moltiplicata per x. Tenendo conto di ciò, molto banal-
mente, si scopre che f è negativa per x minore di meno tre, non esistente
tra meno tre e zero, positiva per x maggiore di zero.
Per quanto concerne il calcolo dei limiti all'infinito: perfetto! Da tali ri-
sultati che ne deduci per quanto concerne l'esistenza o meno di asintoti
orizzontali e/o obliqui? Poi occorre calcolare il limite nei pressi di -3.
Forza, dai, che sei sulla buona strada. ;)
non il radicale; in ogni modo, il dominio che hai determinato è corretto.
Altrettanto corretta l'analisi sui punti di intersezione con gli assi, mentre
hai sbagliato lo studio del segno della funzione: ti sei dimenticata del fat-
to che la radice è moltiplicata per x. Tenendo conto di ciò, molto banal-
mente, si scopre che f è negativa per x minore di meno tre, non esistente
tra meno tre e zero, positiva per x maggiore di zero.
Per quanto concerne il calcolo dei limiti all'infinito: perfetto! Da tali ri-
sultati che ne deduci per quanto concerne l'esistenza o meno di asintoti
orizzontali e/o obliqui? Poi occorre calcolare il limite nei pressi di -3.
Forza, dai, che sei sulla buona strada. ;)
Allora possiamo dire che non esistono ASINTOTI ORIZZONTALI.
per quanto riguarda gli asintoti obliqui,
visto che:
esiste un asintoto obliquo ed è nella forma
calcolo
quindi l'ASINTOTO OBLIQUO è
per gli asintoti verticali considero:
e
pertanto per
considero anche:
e
pertanto per
Ora calcolo la derivata della funzione.
dapprima considero la derivata della radice:
quindi la derivata della funzione data risulta:
è giusto quello che ho fatto?
dimmi se c'è qualche errore..
ora però non riesco a studiare il segno della derivata..
se mi puoi aiutare..
grazie..
per quanto riguarda gli asintoti obliqui,
visto che:
[math]\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}}{x}= \sqrt{2}[/math]
esiste un asintoto obliquo ed è nella forma
[math]y=q+\sqrt{2}x[/math]
calcolo
[math]q[/math]
come [math]\lim_{x\rightarrow \infty }{x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}}{x}-\sqrt{2}x= - \frac{3}{\sqrt{2}}[/math]
quindi l'ASINTOTO OBLIQUO è
[math]y = \sqrt{2}x-\frac{3}{\sqrt{2}}[/math]
per gli asintoti verticali considero:
[math]\lim_{x\rightarrow -3^{-}}x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}=-\infty [/math]
e
[math]\lim_{x\rightarrow -3^{+}}x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}=non\, \, esiste[/math]
pertanto per
[math]x=-3[/math]
esiste ASINTOTO VERTICALE SINISTRO;considero anche:
[math]\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}=non\, \, esiste[/math]
e
[math]\lim_{x\rightarrow 0^{-}}x\sqrt{\frac{2x}{x+3}}=non\, \, esiste[/math]
pertanto per
[math]x=0[/math]
non ESISTE ASINTOTO VERTICALE.Ora calcolo la derivata della funzione.
dapprima considero la derivata della radice:
[math]\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{2x}{x+3}}}\cdot \frac{2(x+3)-2x}{(x+3)^{2}}=[/math]
[math]\frac{1}{2}\cdot {\sqrt{\frac{x+3}{2x}}}\cdot \frac{2x+6-2x}{(x+3)^{2}}=[/math]
[math]\frac{1}{2}\cdot {\sqrt{\frac{x+3}{2x}}}\cdot \frac{6}{(x+3)^{2}}[/math]
quindi la derivata della funzione data risulta:
[math]f^{'}(x)={\sqrt{\frac{2x}{x+3}}}+x\left ( \frac{1}{2}\cdot {\sqrt{\frac{x+3}{2x}}}\cdot \frac{6}{(x+3)^{2}} \right )[/math]
è giusto quello che ho fatto?
dimmi se c'è qualche errore..
ora però non riesco a studiare il segno della derivata..
se mi puoi aiutare..
grazie..
Dunque, perfetta la deduzione sulla non esistenza degli asintoti orizzontali
e altrettanto corretta la determinazione dell'equazione dell'asintoto obliquo.
Per quanto concerne la determinazione di eventuali asintoti verticali l'unico
limite interessante da studiare è quello per x tendente a meno tre da sinistra
che risultando meno infinito è indice del fatto che x=-3 è asintoto verticale
destro per f (ossia è posto a destra rispetto al grafico di f).
Per quanto concerne x=0 ivi la funzione sappiamo essere continua ( è preci-
samente un "punto di bordo" ) quindi innanzitutto è inutile calcolare tale li-
mite ma se per sport volessimo calcolarlo esso esisterebbe, varrebbe zero e
quindi avremmo l'ennesima conferma che x=0 non è asintoto verticale per f.
Per quanto concerne il calcolo della derivata prima, ripercorriamo i passaggi:
A questo punto lo studio del segno di f' nel dominio di f è banale.
Forza, avanti, che stai andando alla grande!! ;)
e altrettanto corretta la determinazione dell'equazione dell'asintoto obliquo.
Per quanto concerne la determinazione di eventuali asintoti verticali l'unico
limite interessante da studiare è quello per x tendente a meno tre da sinistra
che risultando meno infinito è indice del fatto che x=-3 è asintoto verticale
destro per f (ossia è posto a destra rispetto al grafico di f).
Per quanto concerne x=0 ivi la funzione sappiamo essere continua ( è preci-
samente un "punto di bordo" ) quindi innanzitutto è inutile calcolare tale li-
mite ma se per sport volessimo calcolarlo esso esisterebbe, varrebbe zero e
quindi avremmo l'ennesima conferma che x=0 non è asintoto verticale per f.
Per quanto concerne il calcolo della derivata prima, ripercorriamo i passaggi:
[math]\begin{aligned}
f'(x)
& = \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x\right)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + x\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}\right) \\
& = \sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + x\,\frac{1}{2}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right) \\
& = \sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + \frac{x}{2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}\,\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(2\,x\right)\,(x + 3) - (2\,x)\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x + 3\right)}{(x + 3)^2} \\
& = \sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + \frac{3\,x}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\
& = \frac{(x + 3)^2\,\frac{2\,x}{x + 3} + 3\,x}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\
& = \frac{x\,(2\,x + 9)}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \; .
\end{aligned}\\[/math]
f'(x)
& = \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x\right)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + x\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}\right) \\
& = \sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + x\,\frac{1}{2}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right)^{-\frac{1}{2}}\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right) \\
& = \sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + \frac{x}{2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}\,\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(2\,x\right)\,(x + 3) - (2\,x)\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(x + 3\right)}{(x + 3)^2} \\
& = \sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + \frac{3\,x}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\
& = \frac{(x + 3)^2\,\frac{2\,x}{x + 3} + 3\,x}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\
& = \frac{x\,(2\,x + 9)}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \; .
\end{aligned}\\[/math]
A questo punto lo studio del segno di f' nel dominio di f è banale.
Forza, avanti, che stai andando alla grande!! ;)
Allora studiamo il segno della funzione:
Le condizioni di esistenza sono:
per il segno abbiamo:
la funzione è:
Pertanto
Calcoliamo l'ordinata corrispondente
è un punto del grafico di MASSIMO relativo.
inoltre
Calcoliamo l'ordinata corrispondente
è un punto del grafico di MINIMO relativo.
Ora determiniamo la derivata seconda e studiamo il segno.
Calcoliamo la derivata seconda a partire dalla derivata prima scritta nella seguente forma:
mi sono bloccato e non riesco a calcolare...
se mi potete aiutare anche con il segno...
inoltre quello che ho fatto fin qui è corretto?
fammi sapere..
se mi puoi aiutare.
grazie..
[math]f^{'}(x)=\frac{x\,(2\,x + 9)}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} [/math]
Le condizioni di esistenza sono:
[math]C.E.\, \, \forall X\in \mathbb{R}\, con\, x\neq -3\vee x\neq0[/math]
per il segno abbiamo:
[math]\frac{x\,(2\,x + 9)}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} > 0
[/math]
[/math]
la funzione è:
[math]CRESCENTE\, \, per \, \, x< -\frac{9}{2}\vee -3< x< 0\vee x> 0[/math]
[math]DECRESCENTE\, \, per \, \, -\frac{9}{2}< X< -3
[/math]
[/math]
Pertanto
[math]x= -\frac{9}{2}[/math]
è l'ascissa di un punto di massimo relativo.Calcoliamo l'ordinata corrispondente
[math]f(-\frac{9}{2})=-\frac{9}{2}\sqrt{6}[/math]
[math]M\left ( -\frac{9}{2},\sqrt{6} \right )[/math]
è un punto del grafico di MASSIMO relativo.
inoltre
[math]x= -3[/math]
è l'ascissa di un punto di minimo relativo.Calcoliamo l'ordinata corrispondente
[math]f(-3)=- 3\sqrt{6}[/math]
[math]m\left ( -3,-3\sqrt{-6} \right )[/math]
è un punto del grafico di MINIMO relativo.
Ora determiniamo la derivata seconda e studiamo il segno.
Calcoliamo la derivata seconda a partire dalla derivata prima scritta nella seguente forma:
[math]f^{'}(x)=\frac{2x^{2}+9x}{\sqrt{(x+3)^{4}\, \frac{2x}{(x+3)}}}[/math]
[math]\rightarrow \frac{2x^{2}+9x}{\sqrt{2x\left ( x+3 \right )^{3}}}[/math]
mi sono bloccato e non riesco a calcolare...
se mi potete aiutare anche con il segno...
inoltre quello che ho fatto fin qui è corretto?
fammi sapere..
se mi puoi aiutare.
grazie..
Qui sei andata/o nel pallone, vediamo di rimediare.
Dunque, per quanto riguarda lo studio del segno di
e dato che si nota anche che
segue che
presenta un punto di minimo relativo per
Infine, per quanto concerne lo studio di
quindi
In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
Con questo direi che è davvero tutto. ;)
Dunque, per quanto riguarda lo studio del segno di
[math]f'[/math]
in [math]\text{dom}[f]\\[/math]
, si ha[math]f'(x) = \frac{x\,(2\,x + 9)}{(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x \le - \frac{9}{2} \, \vee \, x > 0\\[/math]
e dato che si nota anche che
[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 0^+} f'(x) = 0\end{aligned}\\[/math]
segue che
[math]\small f[/math]
cresce per [math]\small x < - \frac{9}{2}[/math]
, presenta un punto di massimo relativo per [math]x = - \frac{9}{2}[/math]
, decresce per [math]- \frac{9}{2} < x < - 3[/math]
, non esiste per [math]-3 \le x < 0[/math]
,presenta un punto di minimo relativo per
[math]x = 0[/math]
, quindi cresce per [math]x > 0\\[/math]
.Infine, per quanto concerne lo studio di
[math]f''[/math]
in [math]\text{dom}[f]\\[/math]
, si ha[math]f''(x) = \frac{27}{2\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \ge 0 \; \Leftrightarrow \; x > 0\\[/math]
quindi
[math]f[/math]
è concava per [math]x < - 3[/math]
e convessa per [math]x > 0\\[/math]
.In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di
[math]f\\[/math]
èCon questo direi che è davvero tutto. ;)
Ok grazie..
Mi potresti mostrare i vari passaggi
per la derivata seconda..
Per favore nnriesco a capire come fare...
Anche con il segno della derivata seconda..
Se per favore mi potresti aiutare..
Grazie.
Mi potresti mostrare i vari passaggi
per la derivata seconda..
Per favore nnriesco a capire come fare...
Anche con il segno della derivata seconda..
Se per favore mi potresti aiutare..
Grazie.
D'accordo...
Ciò fatto, lo studio del segno di f'' nel dominio di f è banale. ;)
[math]\small \begin{aligned}
f''(x)
& = \frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[x\,(2\,x + 9)\right](x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} - x\,(2\,x + 9)\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}\right]}{2\,x\,(x + 3)^3} \\
& = \frac{(4\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{2\,x\,(x + 3)} - \frac{2\,x + 9}{2\,(x + 3)^3}\left\{ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(x + 3)^2\right]\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + \\
+ (x + 3)^2\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}\right] \right\} \\
& = \frac{(4\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{2\,x\,(x + 3)} - \frac{(2\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{(x + 3)^2} - \frac{2\,x + 9}{2\,(x + 3)}\,\frac{1}{2}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right)^{-\frac{1}{2}}\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right) \\
& = \frac{(4\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{2\,x\,(x + 3)} - \frac{(2\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{(x + 3)^2} - \frac{3\,(2\,x + 9)}{2\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\
& = \frac{2\,x\,(4\,x + 9)\,(x + 3) - 4\,x^2\,(2\,x + 9) - 3\,x\,(2\,x + 9)}{2\,x\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\
& = \frac{27}{2\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \, .
\end{aligned}\\[/math]
f''(x)
& = \frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[x\,(2\,x + 9)\right](x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} - x\,(2\,x + 9)\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(x + 3)^2\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}\right]}{2\,x\,(x + 3)^3} \\
& = \frac{(4\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{2\,x\,(x + 3)} - \frac{2\,x + 9}{2\,(x + 3)^3}\left\{ \frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[(x + 3)^2\right]\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}} + \\
+ (x + 3)^2\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left[\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}\right] \right\} \\
& = \frac{(4\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{2\,x\,(x + 3)} - \frac{(2\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{(x + 3)^2} - \frac{2\,x + 9}{2\,(x + 3)}\,\frac{1}{2}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right)^{-\frac{1}{2}}\,\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{2\,x}{x + 3}\right) \\
& = \frac{(4\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{2\,x\,(x + 3)} - \frac{(2\,x + 9)\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}}{(x + 3)^2} - \frac{3\,(2\,x + 9)}{2\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\
& = \frac{2\,x\,(4\,x + 9)\,(x + 3) - 4\,x^2\,(2\,x + 9) - 3\,x\,(2\,x + 9)}{2\,x\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \\
& = \frac{27}{2\,(x + 3)^3\,\sqrt{\frac{2\,x}{x + 3}}} \, .
\end{aligned}\\[/math]
Ciò fatto, lo studio del segno di f'' nel dominio di f è banale. ;)
grazie mille
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