Studio funzione con radice e valore assoluto

[insule23]

salve ho dei problemi con lo studio e il grafico della funzione:

[math]y(x)=\left | x \right |\sqrt{log\, \left | x \right |}[/math]

ho cominciato a svolgerlo calcolando il dominio ovvero:

[math]D=\left \{ x\in \mathbb{R}:\, x\leq -1\, \vee \, x\geq 1 \right \}[/math]

e mi sono bloccato..
non so come proseguire essendoci due valori assoluti..
per favore se mi potete aiutare a continuare...
fatemi sapere..
grazie.

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := |x|\,\sqrt{\log|x|}\\[/math]

essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x \le - 1, \; x \ge 1 \right\}\\[/math]

e dal momento che si nota essere

[math]f(-x) = |-x|\,\sqrt{\log|-x|} = |x|\,\sqrt{\log|x|} = f(x)\\[/math]

si ha che

[math]f[/math]

è una funzione pari, ossia simmetrica rispetto all'asse delle
ordinate. Proprio per questo motivo è possibile studiare

[math]f[/math]

solamente per

[math]x \ge 1\\[/math]

e alla fine specchiare il tutto rispetto all'asse delle ordinate.

Quindi, indicando con

[math]f^+[/math]

la nostra funzione

[math]f[/math]

per

[math]x \ge 1[/math]

,
per quanto concerne l'intersezione dell'asse delle ascisse, si ha:

[math]f^+(x) = 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x = 1\\[/math]

e quindi il grafico di

[math]f^+[/math]

interseca detto asse nel punto

[math]A(1,\,0)\\[/math]

.

Passando allo studio del segno di

[math]f^+\\[/math]

, si ha:

[math]f^+(x) > 0 \; \Leftrightarrow \; x > 1\\[/math]

quindi

[math]f^+[/math]

è non negativa per

[math]\forall\, x \in \text{dom}[f^+]\\[/math]

.

Per quanto concerne lo studio di

[math]f^+\\[/math]

ai limiti, si ha

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to +\infty} f^+(x) = +\infty \,, \end{aligned}\\[/math]

da cui consegue che non esiste asintoto orizzontale:
è possibile che vi sia un asintoto obliquo. Dato che

[math]\begin{aligned}
& m \overset{?}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{f^+(x)}{x} = +\infty \,, \\
\end{aligned}\\[/math]

ne consegue che non esiste nemmeno un asintoto obliquo.

È il momento quindi di studiare il segno di

[math]{f^+}'[/math]

in

[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]

:

[math]{f^+}'(x) = \frac{1 + 2\,\log x}{2\,\sqrt{\log x}} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x > 1 \\[/math]

da cui segue che

[math]f^+[/math]

è monotona crescente in

[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]

.

Notando, inoltre, che si ha

[math]\begin{aligned}\lim_{x \to 1^+} {f^+}'(x) = +\infty \end{aligned}\\[/math]

si deduce che in

[math]A[/math]

il grafico di

[math]f^+\\[/math]

presenta tangente verticale.

Infine, per quanto concerne lo studio del segno di

[math]{f^+}''[/math]

in

[math]\text{dom}[f^+]\\[/math]

:

[math]{f^+}''(x) = \frac{- 1 + 2\,\log x}{4\,x\,\sqrt{\log^3 x}} \ge 0 \; \; \Leftrightarrow \; \; x \ge \sqrt{e}\\[/math]

da cui segue che

[math]f^+[/math]

è concava per

[math]1 < x < \sqrt{e}[/math]

, presenta
un flesso per

[math]x = \sqrt{e}[/math]

ed è convessa per

[math]x > \sqrt{e}\\[/math]

.

In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di

[math]f\\[/math]

è

e questo conclude l'esercizio. ;)

[insule23]

ok grazie mille :-)