Studio funzione
Salve ragazzi devo fare lo studio di questa funzione: $(x^2-2x+3)/(|x-1|)$
Allora quando la $x>=0$ si ha $x-1>=0$ e quindi $x>=1$.
Quando la $x<=0$ si ha $-x+1<=0$ e cioè sempre $x>=1$ giusto?
Svolgendo per la prima volta quando la $x>=0$ ho visto che il C.E. è per ogni x eccetto 1. Tralasciando i primi passaggi, volevo sapere: ho provato a fare il limite per l'asintoto orizzontale e non esiste, quello verticale esiste, invece come faccio a calcolarmi quello obliquo? Devo percaso aumentare di 1 grado il denominatore, e poi dividere tutto per $x^2$ (PS: Ovviamente pongo il limite di x che tende a $oo$)?
Un'altra cosa: quando faccio invece la seconda volta quando $x<=0$ il C.E non cambia giusto? E poi, la negatività e positività viene:
$(x^2-2x+3)/(-x+1)<0$ e poi si prosegue con Cartesio con:
$\{(x^2-2x+3>0),(-x+1>0):}$ o sbaglio?
Quindi riassumendo voglio sapere come calcolare l'asintoto obliquo quando $x>=0$ e poi come fare la positività e negatività nel secondo quando $x<=0$. Grazie in anticipo!
Allora quando la $x>=0$ si ha $x-1>=0$ e quindi $x>=1$.
Quando la $x<=0$ si ha $-x+1<=0$ e cioè sempre $x>=1$ giusto?
Svolgendo per la prima volta quando la $x>=0$ ho visto che il C.E. è per ogni x eccetto 1. Tralasciando i primi passaggi, volevo sapere: ho provato a fare il limite per l'asintoto orizzontale e non esiste, quello verticale esiste, invece come faccio a calcolarmi quello obliquo? Devo percaso aumentare di 1 grado il denominatore, e poi dividere tutto per $x^2$ (PS: Ovviamente pongo il limite di x che tende a $oo$)?
Un'altra cosa: quando faccio invece la seconda volta quando $x<=0$ il C.E non cambia giusto? E poi, la negatività e positività viene:
$(x^2-2x+3)/(-x+1)<0$ e poi si prosegue con Cartesio con:
$\{(x^2-2x+3>0),(-x+1>0):}$ o sbaglio?
Quindi riassumendo voglio sapere come calcolare l'asintoto obliquo quando $x>=0$ e poi come fare la positività e negatività nel secondo quando $x<=0$. Grazie in anticipo!
Risposte
Non ci siamo.
$|x-1|$ cambia forma algebrica quando l'argomento cambia segno, lo $0$ non c'entra niente. Quindi
se $x-1>=0$ cioè $x>=1$ allora $|x-1|=x-1$
mentre se $x-1<0$ cioè $x<1$ allora $|x-1|= -x+1$
Ma non devi avere fretta di togliere il modulo, ti serve toglierlo solo per calcolare la derivata ed eventualmente l'asintoto obliquo, prima fai meno calcoli se lo lasci indicato.
$f(x)=(x^2-2x+3)/(|x-1|)$ esiste per $|x-1| !=0$ cioè $x !=1$, per lo studio del segno (positività e negatività) se tieni il modulo non hai bisogno di studiare il denominatore, quello, quando l'esercizio esiste, è sempre positivo, perciò il segno della funzione dipende dal segno del numeratore. Il discriminante è negativo, quindi anche il numeratore è sempre positivo, da cui si deduce che la funzione è sempre positiva. Anche il limite per $x->1$ è semplice, il denominatore tende a $0^+$ il numeratore a 3, quindi $lim_(x->1) f(x)=3/0^+=+oo$
Adesso conviene dividere la funzione
$f(x)=\{((x^2-2x+3)/(x-1), if x>1),((x^2-2x+3)/(1-x), if x<1):}$
A questo punto la ricerca degli asintoti obliqui va fatta separatamente a $+oo$ usando il caso $x>1$,
e a $-oo$ usando $x<1$
$|x-1|$ cambia forma algebrica quando l'argomento cambia segno, lo $0$ non c'entra niente. Quindi
se $x-1>=0$ cioè $x>=1$ allora $|x-1|=x-1$
mentre se $x-1<0$ cioè $x<1$ allora $|x-1|= -x+1$
Ma non devi avere fretta di togliere il modulo, ti serve toglierlo solo per calcolare la derivata ed eventualmente l'asintoto obliquo, prima fai meno calcoli se lo lasci indicato.
$f(x)=(x^2-2x+3)/(|x-1|)$ esiste per $|x-1| !=0$ cioè $x !=1$, per lo studio del segno (positività e negatività) se tieni il modulo non hai bisogno di studiare il denominatore, quello, quando l'esercizio esiste, è sempre positivo, perciò il segno della funzione dipende dal segno del numeratore. Il discriminante è negativo, quindi anche il numeratore è sempre positivo, da cui si deduce che la funzione è sempre positiva. Anche il limite per $x->1$ è semplice, il denominatore tende a $0^+$ il numeratore a 3, quindi $lim_(x->1) f(x)=3/0^+=+oo$
Adesso conviene dividere la funzione
$f(x)=\{((x^2-2x+3)/(x-1), if x>1),((x^2-2x+3)/(1-x), if x<1):}$
A questo punto la ricerca degli asintoti obliqui va fatta separatamente a $+oo$ usando il caso $x>1$,
e a $-oo$ usando $x<1$
melia ma quindi il campo di esistenza della seconda funzione (con $x<0$) sarebbe x<1?
Lo 0 non c'entra niente, $x<0$ non esiste in questo esercizio.
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