Studio funzione
Ciao a tutti devo studiare la seguente funzione : $f(x)=x|x|e^-x$. L'ho divisa in due $x^2e^-x$ se x> o = a 0 e poi $-x^2e^-x$ se x<0. Ora studiando le due funzioni separate non capisco bene come procedere. Ho studiato per prima $x^2e^-x$ mi è venuto come dominio i reali, non è né pari né dispari, è tutta positiva, non capisco come fare i limiti per trovare eventuali asintoti o vedere almeno il comportamento della curva, e la derivata mi è venuto $xe^-x(2+x)$. Studio il segno di questa derivata per vedere dove cresce o decresce e mi viene che da -infinito a -2 cresce da -2 a 0 decresce e poi da 0 a +infinito cresce. Ora i miei problemi sono i seguenti: i limiti di questa non ho capito come farli, come posso unire lo studio del segno delle due derivate che vengono ? perché ora ovviamente devo studiare anche l'altra funzione con l'x<0.. ditemi se ho sbagliato in qualcosa grazie
Risposte
Ciao
devo dire che sei stato particolarmente ermetico nello scrivere i tuoi ragionamenti
per prima cosa la suddivisione della funzione in due parti é corretta
per $x>0$ la tua funzione é
$f(x) = x^2 e^(-x) -> f(x) = x^2/e^x $
vediamo i limiti
$lim_(x->oo) x^2/e^x = oo/oo$
ovvero una classica forma indeterminata
a questo punto puoi ragionare in 2 modi.
Il primo metodo secondo me é piú rigoroso. Sai che il numeratore e il denominatore sono entrambe due funzioni sempre continue e derivabili, quindi puoi usare de l'hopital, ovvero fare il limite delle derivate del numeratore e del denominatore, quindi
$lim_(x->oo) x^2/e^x = lim_(x->oo) (2x)/e^x = oo/oo $
al numeratore e al denominatore hai di nuovo due funzioni continue e derivabili quindi puoi applicare de l'hopital una seconda volta e ottieni
$lim_(x->oo) x^2/e^x = lim_(x->oo) (2x)/e^x = lim_(x->oo) 2/e^x = 0 $
il secondo metodo lo trovo un po' piú rapido ma credo sia un pochino meno rigoroso del primo ovvero fai una considerazione.
È vero che sia il $x^2$ che $e^x$ tendono ad infinito, ma $e^x$ va ad infinito molto piú velocemente di $x^2$ pertanto il denominatore va cresce molto piú in fretta del numeratore portando il limite a $0$
quindi $y=0$ é un asintoto orizzontale per $x->oo$
per $x<0$ hai la funzione
$f(x) = -x^2 e^(-x) -> f(x) = -x^2/e^x $
il limite diventa
$lim_(x->-oo) -x^2/e^x = -(oo)^2/e^(-oo) = -oo\cdot e^oo = -oo$
non mi tornano i tuoi risultati relativi allo studio del segno della derivata
potresti scrivere come ci sei arrivato?
devo dire che sei stato particolarmente ermetico nello scrivere i tuoi ragionamenti
per prima cosa la suddivisione della funzione in due parti é corretta
per $x>0$ la tua funzione é
$f(x) = x^2 e^(-x) -> f(x) = x^2/e^x $
vediamo i limiti
$lim_(x->oo) x^2/e^x = oo/oo$
ovvero una classica forma indeterminata
a questo punto puoi ragionare in 2 modi.
Il primo metodo secondo me é piú rigoroso. Sai che il numeratore e il denominatore sono entrambe due funzioni sempre continue e derivabili, quindi puoi usare de l'hopital, ovvero fare il limite delle derivate del numeratore e del denominatore, quindi
$lim_(x->oo) x^2/e^x = lim_(x->oo) (2x)/e^x = oo/oo $
al numeratore e al denominatore hai di nuovo due funzioni continue e derivabili quindi puoi applicare de l'hopital una seconda volta e ottieni
$lim_(x->oo) x^2/e^x = lim_(x->oo) (2x)/e^x = lim_(x->oo) 2/e^x = 0 $
il secondo metodo lo trovo un po' piú rapido ma credo sia un pochino meno rigoroso del primo ovvero fai una considerazione.
È vero che sia il $x^2$ che $e^x$ tendono ad infinito, ma $e^x$ va ad infinito molto piú velocemente di $x^2$ pertanto il denominatore va cresce molto piú in fretta del numeratore portando il limite a $0$
quindi $y=0$ é un asintoto orizzontale per $x->oo$
per $x<0$ hai la funzione
$f(x) = -x^2 e^(-x) -> f(x) = -x^2/e^x $
il limite diventa
$lim_(x->-oo) -x^2/e^x = -(oo)^2/e^(-oo) = -oo\cdot e^oo = -oo$
non mi tornano i tuoi risultati relativi allo studio del segno della derivata
potresti scrivere come ci sei arrivato?
Allora ho studiato la derivata di un prodotto (parlo sempre dell'x maggiore o uguale a 0) e mi è venuta $2xe^-x+x^2e^-x$ ho fatto un raccoglimento e studiando il segno mi è venuto quello che ho scritto sopra
Per quanto riguarda $x>0$
la derivata è non mi pare sia giusta
a me viene
$f'(x) = 2xe^(-x)-x^2 e^(-x) = (2x-x^2)e^(-x)$
sappiamo che $e^(-x)$ è sempre maggiore di zero quindi per il segno ci basta studiare l'andamento di $2x-x^2$
è una parabola rivolta verso il basso e riscrivendola come $x(2-x)$ vediamo che interseca l'asse $x$ nei punti $x_1 = 0$ e $x_2 = 2$
pertanto la derivate è maggiore di zero per $0
mentre per la parte di funzione $x<0$ la funzione è
$f(x) = -x^2 e^x$
che derivata ci da
$f'(x) = - e^x (2x+x^2)$
sappiamo che $- e^x$ è sempre negativa quindi dobbiamo solo studiare il segno di $2x+x^2$ e poi invertirlo
$2x+x^2$ è una parabola rivolta verso l'alto con gli zeri in $x_1 = -2$ e $x_2 = 0$
quindi la derivata è negativa per $x<-2$ e positiva per $-2
ti torna?
la derivata è non mi pare sia giusta
a me viene
$f'(x) = 2xe^(-x)-x^2 e^(-x) = (2x-x^2)e^(-x)$
sappiamo che $e^(-x)$ è sempre maggiore di zero quindi per il segno ci basta studiare l'andamento di $2x-x^2$
è una parabola rivolta verso il basso e riscrivendola come $x(2-x)$ vediamo che interseca l'asse $x$ nei punti $x_1 = 0$ e $x_2 = 2$
pertanto la derivate è maggiore di zero per $0
mentre per la parte di funzione $x<0$ la funzione è
$f(x) = -x^2 e^x$
che derivata ci da
$f'(x) = - e^x (2x+x^2)$
sappiamo che $- e^x$ è sempre negativa quindi dobbiamo solo studiare il segno di $2x+x^2$ e poi invertirlo
$2x+x^2$ è una parabola rivolta verso l'alto con gli zeri in $x_1 = -2$ e $x_2 = 0$
quindi la derivata è negativa per $x<-2$ e positiva per $-2
ti torna?
Si avevo fatto un errore stupido. Avevo scritto che la derivata di $e^-x$ fosse uguale a se stessa mentre è negativa ahaha
era quello che non mi tornava
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