Studio dominio e segno della funzione

[insule23]

ciao avrei bisogno del vostro aiuto su questo esercizio:

Si determini l'insieme di definizione e studio segno della seguente
funzione :

[math]f(x)=\left ( 2-e^{x}+2\sqrt{\left | e^{x} -1\right |} \right )\cdot log\left | \frac{2}{\pi } arcsin\frac{x}{x-1}\right |[/math]

Allora per quanto riguarda il dominio devo risolvere un sistema formato dalle condizioni di esistenza dei singoli fattori a primo membro, ovvero:

[math]\left\{\begin{matrix}
\left | e^{x}-1 \right |\geq 0 & (1)\\
-1\leq \frac{x}{x-1}\leq 1& \left ( 2 \right )\\
\left | \frac{2}{\pi }arcsin\frac{x}{x-1} \right |& \left ( 3 \right )
\end{matrix}\right.[/math]

per la (1) abbiamo che:

[math]\forall x\mathbb \in {R} [/math]

per la (2) ho risolto e mi viene:

[math]x\leq \frac{1}{2}[/math]

è giusto??
per la (3) non saprei come risolverla..
se mi potete aiutare..
grazie..

[abdelhak.kabli.5]

Sono esercizi differenti dai miei altrimenti ti avrei aiutata

[insule23]

Per favore qualcuno che mi aiuti seriamente...
Grazie...

[bimbozza]

Non hai finito di scrivere la terza condizione.
Essendo argomento del logaritmo, deve esser posto maggiore di zero. Osserviamo,però, che è in valore assoluto perciò esso è equivalente a dire che

[math]\frac{2}{\pi}asin(\frac{x}{x-1}) \not=0 [/math]

...

[insule23]

Ok abbiamo che:

[math] \frac{x}{x-1}\neq0\rightarrow x\neq0 [/math]

Quindi il dominio è uguale a:

[math] x\leq \frac{1}{2} con x\neq0 [/math]

è giusto???
Fatemi sapere..
Per quanto riguarda il segno cosa devo fare...
Sto impazzaendo..
Se mi potete aiutare con la risoluzione...
Grazie...

[insule23]

Come fai a dire che il logaritmo è positivo...
E poi come risolvo la prima parentesi..
Se mi puoi spiegare meglio
e facendomi se possivile vedere tramite
passaggi...
Sto andando in confusione..
Se mi spiegheresti per bene il tutto
il segno della funzione...
Grazie..

[bimbozza]

Scusa, ero mezza addormentata ed ho detto una cavolata senza rendermene conto. Chiedo venia. Ignora quel commento.
Torniamo alla prima parentesi, avremo

[math]2-e^x+2\sqrt{|e^x-1|} \geq0[/math]

[math]\sqrt{|e^x-1|} \geq \frac{e^x-2}{2}[/math]

che si risolve tramite la risoluzioni di due sistemi:

\begin{cases}
\left | e^{x}-1 \right |\geq 0 \\
\frac{e^x-2}{2}1 [/math]

[insule23]

ok va bene e come si risolvono...
Mi potresti scrivere per favore tutti i passaggi..
Sto veramente impazzendo..
Grazie..

[bimbozza]

Sistema I:
la prima è sempre verificata, la seconda equivale a [math]e^x1 \\
\frac{2}{\pi}asin \frac{x}{x-1}

[insule23]

ok fin qui è chiaro...
non riesco a risolvere le due disequazioni con l'esponenziale
e il fatto che nelle disequazioni con l'arcoseno ci sia quel

[math]2/pi[/math]

...

se per favore mi aiuteresti a completare l'esercizio..
grazie..

[bimbozza]

Poni

[math]e^x=t[/math]

e risolvi

[math] t-1\geq \frac{(t-2)^2}{4}[/math]

ed hai una semplice disequazione di secondo grado in t che ti darà

[math]t4+2\sqrt2[/math]

, cioè

[math]xln(4+2\sqrt2)[/math]

.

Passimao all'arcoseno:
poni

[math]t=\frac{x}{x-1}[/math]

ed avrai

[math]arcsint \geq \frac{\pi}{2}[/math]

di cui dovresti conoscere la soluzione, a quel punto sostituisci la t con la funzione iniziale e risolvi in x.

PS. In entrambe le risoluzioni fare la sostituzione non è importante, è solo un modo per "vedere meglio" la soluzione.

[insule23]

Allora io ho svolto e mi risulta che:

per il primo fattore ovvero la prima parentesi

[math]2-e^x+2\sqrt{|e^x-1|} \geq0\rightarrow \sqrt{|e^x-1|} \geq \frac{e^x-2}{2}[/math]

per cui le soluzioni dei due sistemi sono:

[math]x < ln 2 [/math]

[math]\vee[/math]

[math] x>ln\, \left ( 4+2\sqrt{2}\right )[/math]

per il logaritmo,invece, si ha:

[math]|\frac{2}{\pi} asin \frac{x}{x-1}|>1[/math]

da cui:

[math]\frac{2}{\pi}asin \frac{x}{x-1}>1 \\

e\\


\frac{2}{\pi}asin \frac{x}{x-1}1[/math]

unendo le due soluzioni ottengo che per il secondo fattore ovvero il logaritmo è verificato per

[math]x>\frac{1}{2}[/math]

è tutto giusto o c'è qualcosa di sbagliato...
ora come si conclude...
fammi sapere..
grazie..

Aggiunto 22 ore 31 minuti più tardi:

mi potete aiutare per favore...
fatemi sapere...
grazie...

[ciampax]

Ricapitoliamo: per il dominio bisogna imporre le condizioni

[math]|e^x-1|\ge 0,\quad \left|\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{x}{x-1}\right|, \quad -1\le\frac{x}{x-1}\le 1[/math]

le quali hanno soluzioni rispettive

[math]\forall\ x\in\mathbb{R},\ x\not=0,\ x\ge 1/2[/math]

. Pertanto il dominio risulta

[math]D=(-\infty,0)\cup\left(0,\frac{1}{2}\right][/math]

Per quanto riguarda la positività, dobbiamo risolvere separatamente le due disequazioni seguenti:

[math]2-e^x+2\sqrt{|e^x-1|}\ge 0\\ \log\left|\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{x}{x-1}\right|\ge 0[/math]

Iniziamo dalla prima, che si può riscrivere come

[math]\sqrt{|e^x-1|}\ge\frac{e^x-2}{2}[/math]

Dal momento che il radicando è sempre definito e che il termine a sinistra è sempre positivo, basta risolvere l'equazione elevando al quadrato, in quanto nel caso in cui il membro destro sia negativo, la disequazione viene automaticamente soddisfatta. Quindi

[math]|e^x-1|\ge\frac{1}{4}(e^{2x}-4e^x+4)\ \Rightarrow\ e^{2x}-4e^x-4|e^x-1|+4\le 0[/math]

Per risolvere, poniamo

[math]t=e^x[/math]

così da avere

[math]t^2-4t-4|t-1|+4\le 0[/math]

La disequazione si scompone in due casi, a seconda del comportamento del valore assoluto

CASO 1)

[math]t\ge 1[/math]

: abbiamo

[math]t^2-8t+8\le 0\ \Rightarrow\ 4-2\sqrt{2}\le t\le 4+2\sqrt{2}[/math]

che risulta compatibile con la condizione;


CASO 2) [math]t