Studio di una funzione logaritmica

[Comeover]

$f(x)=(logx)/((x-1)^(1/3))$

DOMINIO

$x>0-{1}$
INTERSEZIONI E STUDIO DEL SEGNO
la funzione non interseca gli assi;inoltre è sempre positiva

LIMITI
$lim_(x->0^+)f(x)=+infty$ (asintoto v.)

$lim_(x->1)f(x)=0$ (Qui ho una discontinuita di III specie?)

$lim_(x->+infty)f(x)=0$ (asintoto orizzontale)


DERIVATA PRIMA
$f'(x)=(x(3-logx)-3)/(3x(x-1)^(4/3))$

Mi aiutereste con lo studio della derivata prima (sempre che sia questa che ho calcolato io)?

[donald_zeka]

La derivata prima mi sembra giusta, però non mi sembra facilmente studiabile algebricamente. Allora partendo dal denominatore abbiamo che esso è sempre positivo dato che siamo in $x>0$ e che la radice ha un indice pari e quindi il denominatore non crea problemi. Ora viene il numeratore. $x(3-lnx)-3>0$. Questa disequazione non mi sembra risolvibile facilmente con metodi standard (o forse lo è con metodi di cui io non sono a conoscenza), comunque si può notare che in $x=1$ si ha $x(3-lnx)-3=0$ e che in $x=16$ risulta positiva e in $x=17$ risulta negativa, quindi esiste almeno un punto compreso tra $16$ e $17$ in cui il numeratore si annulla. Consideriamo la derivata del numeratore essa è $2-lnx$ che si annulla una e una sola volta in $x=e^2$, che è compreso tra $1$ e $16$, pertanto per il teorema di rolle gli unici punti in cui il numeratore si annulla sono $x=1$ (chiaramente non valido per il dominio) e $x=x_0$ in $]16;17[$. In particolare quindi tra $1$ e $x_0$ il numerstore risulta positivo e dopo $x_0$ risulta negativo. Pertanto la derivata è positiva in $]1,x_0[$, si annulla in $x=x_0$ ed è negativa in $x>x_0$

[Comeover]

Si effetti non è facilmente risolvibile la derivata ad ogni modo concordate con me che per $x=1$ ho una discontinuiota di terzo tipo?

[donald_zeka]

Si è una discontinuità di $3^a$ specie.