Studio di una funzione
Salve a tutti, sono al 5° anno e tenterò di portare alla presentazione d'esame lo studio di una funzione (non lo so fare ma almeno per una mi ci metterò d'impegno).
La funzione in questione è [tex]f(x) = (2x+1)/(x^2-9)[/tex] (l'ho scelta io prendendone una a caso dal libro)
Sono riuscito a calcolare da me soltanto il dominio, le intersezioni con gli assi, la positività e negatività e parità e disparità.
Mi servirebbe aiuto per i seguenti calcoli (perfavore, se possibile postate tutto il procedimento con ogni singolo passaggio, così vedo se poi posso applicare i vostri suggerimenti con altre funzioni):
1) limiti significativi (con x che tende ai valori non compresi nel dominio ed a + e - infinito) - quelli con i valori non compresi nel dominio li ho fatti e vorrei verificare se sono giusti perchè ho un po di dubbi, quelli con l'infinito ci ho provato ma mi sono perso quando mi sono trovato davanti [tex](infinito)/(infinito^2)[/tex]
2) punti di discontinuità - so quando sono di 1°, 2° e 3° specie però non facendo bene il passaggio precedente non li posso riconoscere...
3) asintoti - idem come sopra
4) crescenza e decrescenza - so che si deve porre y'>0 però dopo la derivata 1° (che dovrebbe essere [tex](-2x^2-2x-18)/(x^4+81)[/tex] mi perdo
5) punti di massimo e minimo (sia relativi che assoluti) - non so proprio come si calcolano
6) flessi (specificando se ascendenti o discendenti) - idem come sopra
Dalle caratteristiche della funzione poi dovrò costruirmi manualmente il grafico (questo dovrei essere in grado di farlo).
Ringrazio anticipatamente chi sarà così gentile da darmi una mano!
PS: scusatemi ma non mi escono le linee di frazione nelle formule, non ho ben capito come si fanno
La funzione in questione è [tex]f(x) = (2x+1)/(x^2-9)[/tex] (l'ho scelta io prendendone una a caso dal libro)
Sono riuscito a calcolare da me soltanto il dominio, le intersezioni con gli assi, la positività e negatività e parità e disparità.
Mi servirebbe aiuto per i seguenti calcoli (perfavore, se possibile postate tutto il procedimento con ogni singolo passaggio, così vedo se poi posso applicare i vostri suggerimenti con altre funzioni):
1) limiti significativi (con x che tende ai valori non compresi nel dominio ed a + e - infinito) - quelli con i valori non compresi nel dominio li ho fatti e vorrei verificare se sono giusti perchè ho un po di dubbi, quelli con l'infinito ci ho provato ma mi sono perso quando mi sono trovato davanti [tex](infinito)/(infinito^2)[/tex]
2) punti di discontinuità - so quando sono di 1°, 2° e 3° specie però non facendo bene il passaggio precedente non li posso riconoscere...
3) asintoti - idem come sopra
4) crescenza e decrescenza - so che si deve porre y'>0 però dopo la derivata 1° (che dovrebbe essere [tex](-2x^2-2x-18)/(x^4+81)[/tex] mi perdo
5) punti di massimo e minimo (sia relativi che assoluti) - non so proprio come si calcolano
6) flessi (specificando se ascendenti o discendenti) - idem come sopra
Dalle caratteristiche della funzione poi dovrò costruirmi manualmente il grafico (questo dovrei essere in grado di farlo).
Ringrazio anticipatamente chi sarà così gentile da darmi una mano!
PS: scusatemi ma non mi escono le linee di frazione nelle formule, non ho ben capito come si fanno
Risposte
Questa mi sembra una funzione troppo semplice e banale per portarla alla maturità. Comunque non ho mai visto nessuno che porta uno studio di funzione agli esami. Ho sentito di qualcuno che ha portato gli asintoti (con Leopardi e l'infinito ... ), ma lo studio di funzione non so fino a che punto sia un collegamento produttivo al fine di passare al meglio l'esame. In pratica: secondo me faresti più danno che altro. In genere la matematica è molto difficile da collegare con le altre materie, a limite può portare gli integrali o le derivate (o le equazioni differenziali) collegati con qualche argomento di fisica (che sarebbe un collegamento più sensato). E appunto perché è difficile collegarla, in genere non si porta.
Poi, se vuoi una mano nello studio di funzione, domani ti aiuto un po' ... stasera ormai mi sa che crollo
Poi, se vuoi una mano nello studio di funzione, domani ti aiuto un po' ... stasera ormai mi sa che crollo
Mi associo a quanto detto da pier.armeli nello sconsigliarti a presentare alla maturità uno studio di funzione. Questo sia per i motivi che ti sono già stati esposti, sia perchè i tuoi dubbi riguardano tutti i punti cruciali di uno studio di funzione, ed è un po' difficile riuscire a chiarirti le idee in così poco tempo
Poi basta già sentire "l'ho scelta io prendendone una a caso dal libro" per capire che proprio la cosa non va! Se devi scegliere un argomento che deve presentarti al meglio agli esami, devi starci su anche qualche ora per scegliere la cosa giusta e non la prima che ti capita!
Lo studio di una funzione è già un argomento fin troppo avanzato per me (infatti non so fare neanche questo!)... dite che portando qualcosa di più complesso non farei ancora più danno?? 
Tutti noi della classe stiamo portando più o meno la stessa cosa (anzi gli altri solo alcuni aspetti tipo intersezione con gli assi e basta... io sono l'unico che si dilungherà eseguendo lo studio di una funzione in più aspetti ed a creare il suo grafico) perchè in matematica siamo tutti 0! Di certo non siamo tutti idioti... c'è gente (me compreso) che al biennio aveva 8 in questa materia... ma vabè non mi voglio dilungare in discorsi che poco c'entrano con il topic in questione.
Nel mio indirizzo non si fa fisica, la matematica è l'ultimo argomento del mio percorso e ci arrivo parlando della crittografia in informatica (dicendo che si utilizzano funzioni molto complesse e poi comincio a parlare... lo so è troppo banale ma la situazione è questa... lo studio delle funzioni è l'unico argomento che posso sperare di capire ed esporre).
@pier.ameli: gli argomenti delle altre materie li ho scelti con una certa attenzione, ma per la matematica ho già spiegato in che condizioni sono, l'unica cosa che so già fare a metà (come il resto della classe) la faccio. Per scegliere la funzione ovviamente non è che ho aperto il libro ad una pagina a caso ed ho puntato il dito ad occhi chiusi... ne ho cercata una che fosse abbastanza semplice da riuscire a svilupparmi da solo con l'aiuto del libro (anche se poi, dato che ho scritto su questo forum, non ci sono riuscito).
Detto questo, gradirei che si ponesse l'attenzione sulla mia richiesta iniziale, grazie nuovamente a chi sarà disposto ad aiutarmi.
Saluti.
Tutti noi della classe stiamo portando più o meno la stessa cosa (anzi gli altri solo alcuni aspetti tipo intersezione con gli assi e basta... io sono l'unico che si dilungherà eseguendo lo studio di una funzione in più aspetti ed a creare il suo grafico) perchè in matematica siamo tutti 0! Di certo non siamo tutti idioti... c'è gente (me compreso) che al biennio aveva 8 in questa materia... ma vabè non mi voglio dilungare in discorsi che poco c'entrano con il topic in questione.
Nel mio indirizzo non si fa fisica, la matematica è l'ultimo argomento del mio percorso e ci arrivo parlando della crittografia in informatica (dicendo che si utilizzano funzioni molto complesse e poi comincio a parlare... lo so è troppo banale ma la situazione è questa... lo studio delle funzioni è l'unico argomento che posso sperare di capire ed esporre).
@pier.ameli: gli argomenti delle altre materie li ho scelti con una certa attenzione, ma per la matematica ho già spiegato in che condizioni sono, l'unica cosa che so già fare a metà (come il resto della classe) la faccio. Per scegliere la funzione ovviamente non è che ho aperto il libro ad una pagina a caso ed ho puntato il dito ad occhi chiusi... ne ho cercata una che fosse abbastanza semplice da riuscire a svilupparmi da solo con l'aiuto del libro (anche se poi, dato che ho scritto su questo forum, non ci sono riuscito).
Detto questo, gradirei che si ponesse l'attenzione sulla mia richiesta iniziale, grazie nuovamente a chi sarà disposto ad aiutarmi.
Saluti.
$f(x)=(2x+1)/(x^2-9)$
Dominio: da $x^2-9!=0$ si ha $x=+-3$. Quindi il dominio è $RR-{-3,+3}$.
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio
$ lim_( x -> 3^+ ) f(x)=(6+1)/((3^+)^2-9) sim 7/((3,1)^2-9)=7/0.61=7/0^+=+oo$
$ lim_( x -> 3^- ) f(x)=(6+1)/((3^-)^2-9) sim 7/((2,9)^2-9)=7/(0^-)=-oo$
$ lim_( x -> -3^+ ) f(x)=(-6+1)/((-3^+)^2-9) sim (-5)/((-2,9)^2-9)=(-5)/(0^-)=+oo$
$ lim_( x -> -3^- ) f(x)=(-6+1)/((-3^-)^2-9) sim (-5)/((-3,1)^2-9)=(-5)/(0^+)=-oo$
$ lim_( x -> +oo ) (2x+1)/(x^2-9)=lim_( x -> +oo ) (x(2+1/x))/(x^2(1-9/x^2)) =lim_( x -> +oo ) (2+1/x)/(x(1-9/x^2))=(2+0)/(+oo(1-0))=2/(+oo)=0 $
$ lim_( x -> -oo ) (2x+1)/(x^2-9)=lim_( x -> -oo ) (x(2+1/x))/(x^2(1-9/x^2)) =lim_( x -> -oo ) (2+1/x)/(x(1-9/x^2))=(2+0)/(-oo(1-0))=2/(-oo)=0 $
Si deduce che $x=3$ e $x=-3$ sono due asintoti verticali completi e che $y=0$ è un asintoto orizzontale completo.
Dato che $ lim_( x -> +-oo ) f(x)=0$ non esistono asintoti obliqui (altrimenti detti trasversi).
Dai limiti calcolati per $x$ tendente a $-3$ e $3$, dato che sono venuti $oo$, deduciamo subito che gli unici punti di discontinuità
sono $x=-3$ e $x=3$ e sono entrambi di seconda specie (altrimenti detti punti di infinito).
Studiamo il segno della funzione, risolvendo la disequazione $f(x)>0 -> (2x+1)/(x^2-9)>0$
Il numeratore è verificato per $x > -1/2$. Il denominatore per $x<-3$ v $ x>3$.
Cercando le soluzioni, che, con la regola dei segni, restituiscono segno positivo, si ottiene $-3 < x < -1/2$ e $x >3$.
Quindi la funzione è positiva in $(-3,-1/2)$ $U$ $(3,+oo)$. Negativa altrimenti, ove definita.
Le intersezioni con gli assi sono, ovviamente, $x=-1/2$ e quindi $(-1/2,0)$ e poi $x=0 -> f(0)=-1/9$, quindi $(0,-1/9)$.
La deriv ata prima l'hai sbagliata (al denominatore c'è un grave errore ...), quella giusta è $f'(x)=-2(x^2+x+9)/(x^2-9)^2
Adesso la studiamo ponendola $>0$.
$-2(x^2+x+9)/(x^2-9)^2>0$ Il denominatore è, ovviamente (essendo un quadrato), sempre positivo, e quindi possiamo semplificarlo: $-> -2(x^2+x+9)>0$
Il $2$ non influenza il segno e quindi lo togliamo: $-> -(x^2+x+9)>0$
Ora cerchiamo le radici di $x^2+x+9=0$ e vediamo che il delta viene negativo. Quindi non ci sono radici, per cui la parabola non interseca mai l'asse $x$ e
quindi è sempre positiva (dato che il coefficiente di $x^2$ è positivo, per cui è rivolta verso l'alto).
Dato che $x^2+x+9$ è sempre positiva, allora $-(x^2+x+9)$ è sempre negativa e, concludendo $-(x^2+x+9)>0$ non è mai verificata.
Dato che la disequazione relativa alla derivata prima non è mai verificata, significa che la derivata prima non è mai positiva, e cioè che è sempre negativa.
Dallo studio della derivata prima possiamo dedurre che la funzione decresce relativamente ad ogni intervallo di definizione.
Ovviamente, di conseguenza, non ci saranno né massimi, né minimi relativi.
I massimi e i minimi assoluti non esistono nemmeno (la funzione tende a $+-oo$ in $x=+-3$).
La ricerca dei flessi non è proprio agevole (infatti, salvo casi eccezionali, si tralascia). Comunque, proviamoci lo stesso.
La derivata seconda è $2(2x^3+3x^2+54x+9)/(x^2-9)^3$.
Studiamone il segno e abbiamo
$2(2x^3+3x^2+54x+9)/(x^2-9)^3>0$ (non ho né la voglia né il tempo di scrivere tutto lo svolgimento)
e otteniamo $-33$
Consentimi, per semplicità, di chiamare $a=(root(3)(245)-root(3)(175)-1)/2 sim -0.168$.
Questo significa che tra $-3$ e $a$ e anche da $3$ a $+oo$ la funzione è concava (concavità verso l'alto). Convessa (concavità verso il basso) altrimenti, ove definita.
Da ciò deduci, ovviamente, che esiste un unico punto di flesso ed è in $x=a$. Vediamo un po' qual è l'ordinata. $f(a)=(4/3)(root(3)(5)-root(3)(7))/(root(3)(35^2) - root(3)(7) - 3root(3)(5)) sim -0.074$
Quindi l'unico punto di flesso è $F((root(3)(245)-root(3)(175)-1)/2,(4/3)(root(3)(5)-root(3)(7))/(root(3)(35^2) - root(3)(7) - 3root(3)(5))) sim F(-0.168,-0.074)$.
Ora c'è veramente tutto quello che serve per fare un grafico completo!!
Dominio: da $x^2-9!=0$ si ha $x=+-3$. Quindi il dominio è $RR-{-3,+3}$.
Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio
$ lim_( x -> 3^+ ) f(x)=(6+1)/((3^+)^2-9) sim 7/((3,1)^2-9)=7/0.61=7/0^+=+oo$
$ lim_( x -> 3^- ) f(x)=(6+1)/((3^-)^2-9) sim 7/((2,9)^2-9)=7/(0^-)=-oo$
$ lim_( x -> -3^+ ) f(x)=(-6+1)/((-3^+)^2-9) sim (-5)/((-2,9)^2-9)=(-5)/(0^-)=+oo$
$ lim_( x -> -3^- ) f(x)=(-6+1)/((-3^-)^2-9) sim (-5)/((-3,1)^2-9)=(-5)/(0^+)=-oo$
$ lim_( x -> +oo ) (2x+1)/(x^2-9)=lim_( x -> +oo ) (x(2+1/x))/(x^2(1-9/x^2)) =lim_( x -> +oo ) (2+1/x)/(x(1-9/x^2))=(2+0)/(+oo(1-0))=2/(+oo)=0 $
$ lim_( x -> -oo ) (2x+1)/(x^2-9)=lim_( x -> -oo ) (x(2+1/x))/(x^2(1-9/x^2)) =lim_( x -> -oo ) (2+1/x)/(x(1-9/x^2))=(2+0)/(-oo(1-0))=2/(-oo)=0 $
Si deduce che $x=3$ e $x=-3$ sono due asintoti verticali completi e che $y=0$ è un asintoto orizzontale completo.
Dato che $ lim_( x -> +-oo ) f(x)=0$ non esistono asintoti obliqui (altrimenti detti trasversi).
Dai limiti calcolati per $x$ tendente a $-3$ e $3$, dato che sono venuti $oo$, deduciamo subito che gli unici punti di discontinuità
sono $x=-3$ e $x=3$ e sono entrambi di seconda specie (altrimenti detti punti di infinito).
Studiamo il segno della funzione, risolvendo la disequazione $f(x)>0 -> (2x+1)/(x^2-9)>0$
Il numeratore è verificato per $x > -1/2$. Il denominatore per $x<-3$ v $ x>3$.
Cercando le soluzioni, che, con la regola dei segni, restituiscono segno positivo, si ottiene $-3 < x < -1/2$ e $x >3$.
Quindi la funzione è positiva in $(-3,-1/2)$ $U$ $(3,+oo)$. Negativa altrimenti, ove definita.
Le intersezioni con gli assi sono, ovviamente, $x=-1/2$ e quindi $(-1/2,0)$ e poi $x=0 -> f(0)=-1/9$, quindi $(0,-1/9)$.
La deriv ata prima l'hai sbagliata (al denominatore c'è un grave errore ...), quella giusta è $f'(x)=-2(x^2+x+9)/(x^2-9)^2
Adesso la studiamo ponendola $>0$.
$-2(x^2+x+9)/(x^2-9)^2>0$ Il denominatore è, ovviamente (essendo un quadrato), sempre positivo, e quindi possiamo semplificarlo: $-> -2(x^2+x+9)>0$
Il $2$ non influenza il segno e quindi lo togliamo: $-> -(x^2+x+9)>0$
Ora cerchiamo le radici di $x^2+x+9=0$ e vediamo che il delta viene negativo. Quindi non ci sono radici, per cui la parabola non interseca mai l'asse $x$ e
quindi è sempre positiva (dato che il coefficiente di $x^2$ è positivo, per cui è rivolta verso l'alto).
Dato che $x^2+x+9$ è sempre positiva, allora $-(x^2+x+9)$ è sempre negativa e, concludendo $-(x^2+x+9)>0$ non è mai verificata.
Dato che la disequazione relativa alla derivata prima non è mai verificata, significa che la derivata prima non è mai positiva, e cioè che è sempre negativa.
Dallo studio della derivata prima possiamo dedurre che la funzione decresce relativamente ad ogni intervallo di definizione.
Ovviamente, di conseguenza, non ci saranno né massimi, né minimi relativi.
I massimi e i minimi assoluti non esistono nemmeno (la funzione tende a $+-oo$ in $x=+-3$).
La ricerca dei flessi non è proprio agevole (infatti, salvo casi eccezionali, si tralascia). Comunque, proviamoci lo stesso.
La derivata seconda è $2(2x^3+3x^2+54x+9)/(x^2-9)^3$.
Studiamone il segno e abbiamo
$2(2x^3+3x^2+54x+9)/(x^2-9)^3>0$ (non ho né la voglia né il tempo di scrivere tutto lo svolgimento)
e otteniamo $-3
Consentimi, per semplicità, di chiamare $a=(root(3)(245)-root(3)(175)-1)/2 sim -0.168$.
Questo significa che tra $-3$ e $a$ e anche da $3$ a $+oo$ la funzione è concava (concavità verso l'alto). Convessa (concavità verso il basso) altrimenti, ove definita.
Da ciò deduci, ovviamente, che esiste un unico punto di flesso ed è in $x=a$. Vediamo un po' qual è l'ordinata. $f(a)=(4/3)(root(3)(5)-root(3)(7))/(root(3)(35^2) - root(3)(7) - 3root(3)(5)) sim -0.074$
Quindi l'unico punto di flesso è $F((root(3)(245)-root(3)(175)-1)/2,(4/3)(root(3)(5)-root(3)(7))/(root(3)(35^2) - root(3)(7) - 3root(3)(5))) sim F(-0.168,-0.074)$.
Ora c'è veramente tutto quello che serve per fare un grafico completo!!
Ti ringrazio infinitamente pier.armeli.
I procedimenti delle poche operazioni che avevo provato a fare erano per di più giusti, anche se spesso i segni dei risultati non corrispondevano (mie distrazioni).
Ho capito tutto più o meno, anche se i passaggi di crescenza, decrescenza e flessi proprio non li digerisco.... ma vabè, cercherò di imparare a memoria il tuo procedimento (tralasciando il flesso, decisamente troppo complicato)
Grazie per il grafico (anche se avevo intenzione di costruirlo da me per poi verificare se era giusto sottoponendovelo
), cmq ancora meglio, farò ugualmente il grafico da me e poi il tuo mi servirà come verifica
PS: che programma hai utilizzato per il grafico? Percaso è derive6?
Saluti.
I procedimenti delle poche operazioni che avevo provato a fare erano per di più giusti, anche se spesso i segni dei risultati non corrispondevano (mie distrazioni).
Ho capito tutto più o meno, anche se i passaggi di crescenza, decrescenza e flessi proprio non li digerisco.... ma vabè, cercherò di imparare a memoria il tuo procedimento (tralasciando il flesso, decisamente troppo complicato)
Grazie per il grafico (anche se avevo intenzione di costruirlo da me per poi verificare se era giusto sottoponendovelo
), cmq ancora meglio, farò ugualmente il grafico da me e poi il tuo mi servirà come verifica PS: che programma hai utilizzato per il grafico? Percaso è derive6?
Saluti.
Di nulla!! Se ci sono dubbi su crescenza e flessi puoi dirci di preciso dov'è il problema, e cercheremo di chiarirlo. Se ci sono dubbi "di base" allora puoi prendere una o due lezioni private per farti rispiegare l'argomento (se il/la tuo/a prof. non riesce a darti le spiegazioni necessarie e i libri non ti sono molto d'aiuto). Meglio capire, anche poco, che impararlo a memoria, che poi lo sai: non saprai rispondere a nessuna eventuale domanda della commissione!
Si, per il grafico ho usato Derive.
Ciao
Si, per il grafico ho usato Derive.
Ciao
Si, direi che i problemi sono proprio "di base".
In queste tue frasi:
Non c'è chissà quale passaggio, ma tutto il ragionamento che tu scrivi per te è ovvio, mentre per me è assolutamente incomprensibile.
Tanto per farti un esempio... non sapevo che quando il delta viene negativo la parabola non interseca mai l'asse x ed è sempre positiva... così come non sapevo tutto il resto che hai scritto.
Il problema è che, come mi sembra di aver capito, la matematica è una catena, non puoi comprendere il programma scolastico di un anno se non sai tutto quello dell'anno precedente... ed io è da 3 anni che si può dire che non faccio matematica (o almeno, ci provo, è la prof che ho dal triennio che non ha mai saputo spiegare decentemente una cosa).
Grazie nuovamente.
In queste tue frasi:
Adesso la studiamo ponendola >0.
-2x2+x+9(x2-9)2>0 Il denominatore è, ovviamente (essendo un quadrato), sempre positivo, e quindi possiamo semplificarlo: →-2(x2+x+9)>0
Il 2 non influenza il segno e quindi lo togliamo: →-(x2+x+9)>0
Ora cerchiamo le radici di x2+x+9=0 e vediamo che il delta viene negativo. Quindi non ci sono radici, per cui la parabola non interseca mai l'asse x e
quindi è sempre positiva (dato che il coefficiente di x2 è positivo, per cui è rivolta verso l'alto).
Dato che x2+x+9 è sempre positiva, allora -(x2+x+9) è sempre negativa e, concludendo -(x2+x+9)>0 non è mai verificata.
Dato che la disequazione relativa alla derivata prima non è mai verificata, significa che la derivata prima non è mai positiva, e cioè che è sempre negativa.
Derivata prima sempre negativa significa funzione sempre decrescente.
Non c'è chissà quale passaggio, ma tutto il ragionamento che tu scrivi per te è ovvio, mentre per me è assolutamente incomprensibile.
Tanto per farti un esempio... non sapevo che quando il delta viene negativo la parabola non interseca mai l'asse x ed è sempre positiva... così come non sapevo tutto il resto che hai scritto.
Il problema è che, come mi sembra di aver capito, la matematica è una catena, non puoi comprendere il programma scolastico di un anno se non sai tutto quello dell'anno precedente... ed io è da 3 anni che si può dire che non faccio matematica (o almeno, ci provo, è la prof che ho dal triennio che non ha mai saputo spiegare decentemente una cosa).
Grazie nuovamente.
"pier.armeli":
Derivata prima sempre negativa significa funzione sempre decrescente.
Questo è falso(*), come si vede anche dal grafico.
La funzione non è strettamente decrescente sul suo insieme di definizione.
E' strettamente decrescente su ciascuno degli intervalli su cui è definita, ovvero su $]-oo, -3[$, su $]-3,3[$ e su $]3,+oo[$
NB: Il tutto ammettendo che i calcoli fatti siano giusti (non ho controllato).
(*) Infatti da informazioni sul segno della derivata prima si può dire qualcosa sulla monotonia solo se si è un intervallo, visto che si usa il teorema di Lagrange.
"Fioravante Patrone":
[quote="pier.armeli"]Derivata prima sempre negativa significa funzione sempre decrescente.
Questo è falso(*), come si vede anche dal grafico.
La funzione non è strettamente decrescente sul suo insieme di definizione.
E' strettamente decrescente su ciascuno degli intervalli su cui è definita, ovvero su $]-oo, -3[$, su $]-3,3[$ e su $]3,+oo[$
NB: Il tutto ammettendo che i calcoli fatti siano giusti (non ho controllato).
(*) Infatti da informazioni sul segno della derivata prima si può dire qualcosa sulla monotonia solo se si è un intervallo, visto che si usa il teorema di Lagrange.[/quote]
Grazie per la segnalazione, correzione apportata! Anche se era una cosa, per il caso, veramente minimale!
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