Studio di una funzione

[sonda90]

Salve vorrei capire l'analisi della seguente funzione:
$f(x) = 2xsqrt(|x-1|)$
qualcuno potrebbe spiegarmi passo per passo? grazie mille

[Steven11]

Prova almeno a dire quale è il dominio e gli intervalli di positività e negatività.
Sono molto semplici, vista la funzione.

[sonda90]

si il dominio è R la positività è per x>0 potreste spiegarmi piu nel dettaglio le derivate della funzione?

[Steven11]

"sonda90": la positività è per x>0

Per $x=1$ la funzione non è positiva, occhio

[sonda90]

giusto, ma poi mi puoi spiegare lo studio delle derivate?

[sonda90]

io faccio la derivata prima e vedo che la funzione è derivabile per x<1 e x>1 ma per x=1 cosa devo fare? perchè so che il grafico ha un punto angoloso, ma come lo trovo?

[Steven11]

Il grafico della funzione è questo (prova a cliccarci sopra).

La funzione la scriviamo come
$f(x)={(2xsqrt(x-1) \quad "se"\quad x>=1),(2xsqrt(1-x)\quad "se"\quad x<1):}$
sciogliendo il modulo insomma.
La funzione è continua in $1$, si vede bene facendo il limite della prima espressione a $1^+$ e il limite della seconda a $1^-$.
Entrambi valgono 0, si vede anche nel grafico.

Derivando abbiamo
$f'(x)={(2sqrt(x-1)+x/(sqrt(x-1)) \quad "se"\quad x>=1),(2sqrt(1-x)-x/(sqrt(1-x))\quad "se"\quad x<1):}$

Ora, se tu vai a fare il limite della derivata prima per $x->1^+$, questo vale $+oo$
Infatti $1^+$ è maggiore di 1, e il limite va fatto nella prima espressione, dove il primo termine va a zero, e il secondo a più infinito.
A $1^-$ consideri la seconda espressione, il primo termine va a zero, il secondo a meno infinito.
I due limiti non coincidono, non è derivabile in 1.

Quel punto è una cuspide.

Tutto chiaro?

[sonda90]

ho capito grazie ma come faccio a sapere che la curva ha quell'andamento?

[Steven11]

"sonda90":ho capito grazie ma come faccio a sapere che la curva ha quell'andamento?

Il grafico l'ho fatto con un programma di matematica.
Altrimenti, raccogli più informazioni sulla funzione (segno, massimi e minimi, crescenza etc) e la costruisci da te.

Ciao.

[sonda90]

scusate la niubbaggine ma per trovare il massimo relativo della funzione devo porre la derivata prima uguale a 0 ma avevndo il sistema come faccio?

[kekko989]

ti verranno fuori due derivate diverse,vedi quando si annullano e troverai due valori. Se questi valori sono nel dominio che stai analizzando,allora lì sarai in presenza di un massimo/minimo

[Albertus16]

Ciao sonda90. Per capire quali sono i punti di massimo e minimo di una funzione (se essa è limitata, altrimenti parliamo di estremo inferiore o estremo inferiore), devi vedere quali sono i punti che annullano la derivata prima $f'(x)$.

Una volta trovati questi punti, per verificare se un punto è più grande dell'altro, trovati la sua ordinata, calcolando il valore che la funzione originaria assume nel punto che ti ha annullato precedentemente la derivata prima.

Steven ha già detto che la derivata prima non è derivabile in 1. Osserva meglio il sistema e poni, una volta per il segno positivo e una volta per il segno negativo, la derivata prima $f'(x)=0$

Mi raccomando, cerca di studiare meglio la teoria. Se non ti applichi alla teoria, non potrai capire in modo efficace gli esercizi.

"kekko89":ti verranno fuori due derivate diverse,vedi quando si annullano e troverai due valori. Se questi valori sono nel dominio che stai analizzando,allora lì sarai in presenza di un massimo/minimo

Esatto.