Studio di un fascio di funzioni omografiche

[jondo95]

Ciao a tutti, per domani avrei da studiare questo fascio:

[img]http://postimg.org/image/swzdfw8g7/[/img]

Non mi è stata data una consegna precisa, mi si chiede di studiarla generalmente (credo quindi trovare gli asintoti, centro, portarla in forma canonica, generatrici, le degeneri che non so se corrispondono alle precedenti)

Vi prego, aiutatemi.
Grazie mille.

[Studente Anonimo]

Data la funzione omografica

[math]f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/math]

definita da

[math]f(x):=\frac{(2k+1)x-1}{(k+2)x-k}\\[/math]

(per

[math]k\in\mathbb{R}[/math]

) si nota che per

[math]k+2=0 \; \Leftrightarrow \; k=-2[/math]

il proprio grafico degenera
nella retta di equazione

[math]y=-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}[/math]

(

[math]\forall\,x\in\mathbb{R}[/math]

),
mentre per

[math](2k+1)(-k)-(-1)(k+2)=0 \, \Leftrightarrow[/math]

_

[math]k=\pm\,1[/math]

degenera rispettivamente nelle rette di equazione

[math]y=\pm\,1[/math]

, in un caso per

[math]x\ne -1[/math]

e nell'altro per

[math]x\ne \frac{1}{3}\\[/math]

.


Dunque, ponendo

[math]k\ne -2 \, \land \, k\ne\pm\,1[/math]

tale funzione
rappresenta un'iperbole equilatera con centro di simmetria
in

[math]C\left(\frac{k}{k+2}, \, \frac{2k+1}{k+2}\right)[/math]

e asintoti di equazione

[math]x=\frac{k}{k+2}[/math]

,

[math]y=\frac{2k+1}{k+2} \; .\\[/math]

Se adesso vogliamo fare le cose in grande, tramite una traslazione
del tipo

[math]\begin{cases} x = X + \frac{k}{k+2} \\ y = Y + \frac{2k+1}{k+2} \end{cases}[/math]

scriviamo l'equazione di tale iperbole
nel sistema cartesiano di riferimento

[math]C\,X\,Y[/math]

. In sostanza, è
sufficiente sostituire tali quantità rispettivamente al posto di

[math]x,\,y[/math]

e
dopo una semplice manipolazione algebrica ottenere

[math]X\,Y=\frac{2(k^2-1)}{(k+2)^2}[/math]

.
A questo punto, dato che tale equazione è quella canonica dell'iperbole
equilatera riferita ai propri asintoti non è difficile risalire alle coordinate
dei propri vertici e fare altre semplici considerazioni.


Spero di averti illustrato a grandi linee in cosa consiste tale studio ;)