Studio di un fascio di circonferenze

[a42bbbb]

Tutte le circonferenze di un fascio sono rappresentate dalla combinazione lineare delle due circonferenze generatrici quindi ogni fascio di circ ha equazione

$ (k+1)x^2 + (k+1)y^2 + (a+ka')x+(b+kb')y+c+kc' $

Tuttavia mi sono bloccato ad un esercizio di questo genere :
(Studia i seguenti fasci di circonferenze)
1) $ X^2+y^2+6k-3=0 $
ora ho pensato di moltiplicare tutto per $ (K+1) $ svolgere e raccogliere K , ma cosi facendo non ho due circonferenze generatrici . che va in contraddizione del mio libro che dice che le circonferenze generatrici sono DUE . Infatti se svolgo i calcoli esce qualcosa del genere $ x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+ka'x+b'y+c') $ ma questo è piu un inseme di circonferenze al variare di K quindi sono molto confuso dove sto sbagliando a leggere la definizione

Definizione del libro

:
Date due cirocnferenze L e L' , rispettivamente di equazioni
$ x^2+y^2+ax+by+c=0 $
$ x^2+y^2+a'x+b'y+c'=0 $
si chiama fascio di circonferenze definito da L L' l'insieme delle circonferenza l' e di tutte le circonferenze rappresentate dall'equazione :
$ x^2+y^2+ax+by+c+k(x^2+y^2+a'x+b'y+c') =0 $

PS: So che l'esercizio si svolge raccogliendo K e usando il polinomio come equazione dell'asse radicale e trovando i punti base e continuare lo studio.
Grazie

[@melia]

Non hai la seconda circonferenza, ovvero ne hai una di degenere, non reale ($6=0$).

[a42bbbb]

Grazie

[gugo82]

@ @melia, soprattutto: Questa cosa dei fasci non l'ho mai capita bene. Insomma, l'equazione di un fascio di rette si ottiene come combinazione lineare di due equazioni, quindi andrebbero usati due parametri; lo stesso dicasi per i fasci di coniche.

Ad esempio, il fascio generato dalle rette di equazione $a x + b y + c = 0$ ed $alpha x + beta y + gamma = 0$ ha equazione:

$h (a x + b y + c) + k (alpha x + beta y + gamma) = 0$

quindi la nozione di generatrice "degenere" (quella che ottengo, formalmente, mandando $k -> oo$ nell'equazione monoparametro $a x + b y + c + k (alpha x + beta y + gamma) = 0$) non esiste proprio.
Lo stesso dicasi per i fasci di coniche.

Perché nei libri per lo scientifico non si racconta (quasi) mai questo fatto?

@ OP: In realtà un fascio di coniche (qualsiasi esse siano) si ottiene come combinazione lineare di polinomio in due variabili al più di secondo grado.
Quindi prese due equazioni $a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$ e $a' x^2 + b' xy + c' y^2 + d' x + e' y + f' = 0$, l'equazione del fascio che le ha per generatrici è:

$h(a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f) + k(a' x^2 + b' xy + c' y^2 + d' x + e' y + f') = 0$,

o, nella vulgata dei libri per il liceo, nella forma monoparametro:

$a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f + k (a' x^2 + b' xy + c' y^2 + d' x + e' y + f') = 0$.

I due polinomi al primo membro sono al più (cioè al massimo) di secondo grado, ma possono essere anche di grado inferiore... Non fa nulla: sempre un fascio di coniche ottieni.

[alessio761]

Hai ragione @gugo.

I parametri (due) che definiscono il fascio sono parametri omogenei: non possono essere contemporaneamente nulli e ciò che conta è il loro rapporto (purché definito); ma ormai, anche questo, alle superiori non si può più dire, a quanto pare (cfr. fasci di rette/coniche nel piano, fascio di piani nello spazio, etc.). Il vantaggio dei parametri omogenei (che corrisponde, peraltro, a prendere come parametro un punto su una retta proiettiva...) è di trattare le due generatrici sullo stesso piano, in modo che tutte le coniche del fascio corrispondano a coppie di valori dei parametri (a meno di proporzionalità), senza "generatrici all'infinito". Ma ormai nessuno, alle superiori, lo fa più. Amen

Va poi detto che il fascio andrebbe espresso in coordinate omogenee (cioè nel piano proiettivo), per non trovare generatori "fake" che neanche sono coniche, ma questo capisco che lo si risparmirei alle superiori. Nell'esempio citato, l'altra generatrice è una (la) retta doppia all'infinito...