Studio di $f(x) = \ln|x^2 - 2x^3| - 4x$
Come da titolo, studiare la funzione $f(x) = \ln|x^2 - 2x^3| - 4x$
Diciamo che ho avuto problemi su tutta la linea: all'esame non ricordavo com'era la derivata del modulo e inoltre ho trovato difficile studiare i limiti.
Sorry, non ho qui la mia soluzione e non ve lo posso trascrivere, ma mi piacerebbe vedere come qualcuno piu' bravo di me affronta il "problema", visto che io sostanzialmente mi son sentito perso nello studiare questa funzione.
Grazie a tutti
Ciau
~Ale
Diciamo che ho avuto problemi su tutta la linea: all'esame non ricordavo com'era la derivata del modulo e inoltre ho trovato difficile studiare i limiti.
Sorry, non ho qui la mia soluzione e non ve lo posso trascrivere, ma mi piacerebbe vedere come qualcuno piu' bravo di me affronta il "problema", visto che io sostanzialmente mi son sentito perso nello studiare questa funzione.
Grazie a tutti
Ciau
~Ale
Risposte
cerco di darti un input.
$x^2-2x^3$ è scritto dentro il simbolo di modulo, quindi se è negativo va cambiato di segno. l'unica condizione da imporre per trovare il dominio è che sia diverso da zero (perché l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero). quindi otteniamo $D=RR-{0; 1/2}$. studiando il segno dello stesso binomio, la funzione diventa, definita a tratti, senza il simbolo di valore assoluto:
$f(x)={[ln(x^2-2x^3)-4x, if (x < 1/2)^^(x!=0)], [ln(2x^3-x^2)-4x, if x > 1/2] :}
non si deve studiare la "derivata del modulo", ma solo calcolare due distinte derivate. prova a ripartire da qui. ciao.
$x^2-2x^3$ è scritto dentro il simbolo di modulo, quindi se è negativo va cambiato di segno. l'unica condizione da imporre per trovare il dominio è che sia diverso da zero (perché l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero). quindi otteniamo $D=RR-{0; 1/2}$. studiando il segno dello stesso binomio, la funzione diventa, definita a tratti, senza il simbolo di valore assoluto:
$f(x)={[ln(x^2-2x^3)-4x, if (x < 1/2)^^(x!=0)], [ln(2x^3-x^2)-4x, if x > 1/2] :}
non si deve studiare la "derivata del modulo", ma solo calcolare due distinte derivate. prova a ripartire da qui. ciao.
Grazie! In effetti cosi' mi riesce piu' semplice elaborare il tutto 
Per ora mi assilla solo una domanda...
$lim_{x\to +\infty} ln(2x^3 - x^2) - 4x = [\infty - \infty]$, forma indeterminata, giusto?
Ecco, cosi' ad occhio direi che il risultato del limite e' $-\infty$, perche' $log(x^3)$ e' di ordine inferiore a $x$ (credo, se sbaglio picchiatemi pure
), solo che non saprei risolvere questa forma indeterminata in modo formale: come faccio?
$ln(2x^3) - 4x = ln(2x^3) - ln(e^{4x}) = ln(\frac{2x^3}{e^{4x}})$, solo che anche qui non so come procedere: $e^x$ e' di ordine superiore a $x^3$, quindi quella divisione fa zero e il logaritmo di 0 e' $-\infty$, per l'appunto... Ma comunque sono sull'intuitivo, e vorrei capire come farla formalmente.
L'argomento del logaritmo si potrebbe risolvere con de l'hopital... Ma c'e' il logaritmo! Si puo' calcolare il limite di una composizione di funzioni come composizione dei limiti delle funzioni?
Grazie
Per ora mi assilla solo una domanda...
$lim_{x\to +\infty} ln(2x^3 - x^2) - 4x = [\infty - \infty]$, forma indeterminata, giusto?
Ecco, cosi' ad occhio direi che il risultato del limite e' $-\infty$, perche' $log(x^3)$ e' di ordine inferiore a $x$ (credo, se sbaglio picchiatemi pure
), solo che non saprei risolvere questa forma indeterminata in modo formale: come faccio?$ln(2x^3) - 4x = ln(2x^3) - ln(e^{4x}) = ln(\frac{2x^3}{e^{4x}})$, solo che anche qui non so come procedere: $e^x$ e' di ordine superiore a $x^3$, quindi quella divisione fa zero e il logaritmo di 0 e' $-\infty$, per l'appunto... Ma comunque sono sull'intuitivo, e vorrei capire come farla formalmente.
L'argomento del logaritmo si potrebbe risolvere con de l'hopital... Ma c'e' il logaritmo! Si puo' calcolare il limite di una composizione di funzioni come composizione dei limiti delle funzioni?
Grazie
i ragionamenti intuitivi sono giusti. se consideri tutta l'algebra dei limiti, è lecito calcolare i limiti dei vari "pezzi", però, per quanto riguarda le funzioni composte c'è un teorema apposito che ne parla: non è applicabile in questo caso perché la funzione logaritmo dovrebbe essere continua in zero... ricordi il teorema?
di solito, per applicare de l'Hopital ad una somma, si mette in evidenza uno dei due termini (trasformandola in forma indeterminata del tipo $oo*0$ ) e poi si passa uno dei due termini al denominatore, ovviamente reciproco. nel tuo caso però ci possiamo fermare prima:
$[ln(2x^3-x^2)-4x]=[4x*((ln(2x^3-x^2))/(4x)-1)]$
potresti applicare l'hopital al limite della frazione, e poiché il risultato è $!=1$, non è più una forma indeterminata...
ciao.
di solito, per applicare de l'Hopital ad una somma, si mette in evidenza uno dei due termini (trasformandola in forma indeterminata del tipo $oo*0$ ) e poi si passa uno dei due termini al denominatore, ovviamente reciproco. nel tuo caso però ci possiamo fermare prima:
$[ln(2x^3-x^2)-4x]=[4x*((ln(2x^3-x^2))/(4x)-1)]$
potresti applicare l'hopital al limite della frazione, e poiché il risultato è $!=1$, non è più una forma indeterminata...
ciao.
Uh cavoli che scemo, era abbastanza immediato, dovevo pensarci un po' di piu'!
Invece non sapevo che dalla somma e' spesso conveniente passare a $\infty * 0$! Tornera' molto utile
Grazie!
Invece non sapevo che dalla somma e' spesso conveniente passare a $\infty * 0$! Tornera' molto utile
Grazie!
prego.
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