Studio di funzioni: minimo massimo e flessi
Mi potreste aiutare con queste due funzioni non riesco ad ottenere il risultato previsto dal testo.
1 - $Y= x^4 – 2x^2$
Dominio è tutto R; Intersezione con gli assi (-radice 2;0) e (0;0) e (radice 2;0); la funzione è pari
Per trovare i punti stazionari calcolo f’(x) che è f’(x) = $4x^3 – 4x$
Non ci sono punti scartati dal dominio di f’(x) quindi ne studio subito il segno. Nello studio del segno ottengo :
x>=0
$4x^2 – 4 $ >=0
Quindi i punti sarebbero massimo relativo (-1;3) e (1;-1); minimo relativo (0; 0).
Invece il testo riporta questi risultati: max (0;0); minimi (-1;-1) e (1;-1)
2 - $y=1/(x^2+1)$
Dominio è tutto R; Intersezione con gli assi (0;1); la funzione è pari; Asintoto orizzontale y=0; dovrei trovare il flesso quindi calcolo f’’(x)
F’’(x) $[(x-1)^2 (-2)]/(x^2+1)^3$
Ora se non ho commesso errori prima, non riesco a fare lo studio del segno di f’’(x) al fine di trovare il flesso. Risultato del testo: flessi (+-(radice 3)/3; ¾)
Grazie per l'aiuto che mi potrete dare.
Martina
1 - $Y= x^4 – 2x^2$
Dominio è tutto R; Intersezione con gli assi (-radice 2;0) e (0;0) e (radice 2;0); la funzione è pari
Per trovare i punti stazionari calcolo f’(x) che è f’(x) = $4x^3 – 4x$
Non ci sono punti scartati dal dominio di f’(x) quindi ne studio subito il segno. Nello studio del segno ottengo :
x>=0
$4x^2 – 4 $ >=0
Quindi i punti sarebbero massimo relativo (-1;3) e (1;-1); minimo relativo (0; 0).
Invece il testo riporta questi risultati: max (0;0); minimi (-1;-1) e (1;-1)
2 - $y=1/(x^2+1)$
Dominio è tutto R; Intersezione con gli assi (0;1); la funzione è pari; Asintoto orizzontale y=0; dovrei trovare il flesso quindi calcolo f’’(x)
F’’(x) $[(x-1)^2 (-2)]/(x^2+1)^3$
Ora se non ho commesso errori prima, non riesco a fare lo studio del segno di f’’(x) al fine di trovare il flesso. Risultato del testo: flessi (+-(radice 3)/3; ¾)
Grazie per l'aiuto che mi potrete dare.
Martina
Risposte
Per risolverlo posso passare per il metodo delle derivate successive:
f(x)=x^4-2x^2
f'(x)=4x^3-4x
f''(x)=12x^2-4
f'''(x)=24x
f'(x)=0 for x=0vx=-1vx=1
f''(0)<0 allora per x=0 abbiamo un massimo.
f''(-1)>0 allora per x=-1 abbiamo un minimo.
f''(1)>0 allora per x=1 abbiamo un minimo.
f''(x)=0 for x=3^(-0,5) v x=-(3^(-0,5))
f'(3^(-0,5))≠0 ed f'''(3^(-0,5))>0 allora abbiamo per x=3^(-0,5) un flesso obliquo ascendente.
f'(-(3^(-0,5)))≠0 ed f'''(-(3^(-0,5)))<0 allora abbiamo per x=-(3^(-0,5)) un flesso obliquo discendente.
Quindi i punti notevoli ai fini dello studio di questa funzione sono:
(0;0), che è un massimo.
(1;-1) che è un minimo.
(-1;-1) che è un minimo.
(-(3^(-0,5));-5/9) che è un flesso obliquo discendente.
(3^(-0,5);5/9) che è un flesso obliquo ascendente.
Volendo si può ancora notare che la funzione è pari, cioè che f(x)=f(-x).
Un metodo alternativo per la soluzione di questo esercizio è quello di studiare il segno della derivata prima e della derivata seconda, ma è più lungo. Questo è più "meccanico" e più rapido in questo caso.
f(x)=x^4-2x^2
f'(x)=4x^3-4x
f''(x)=12x^2-4
f'''(x)=24x
f'(x)=0 for x=0vx=-1vx=1
f''(0)<0 allora per x=0 abbiamo un massimo.
f''(-1)>0 allora per x=-1 abbiamo un minimo.
f''(1)>0 allora per x=1 abbiamo un minimo.
f''(x)=0 for x=3^(-0,5) v x=-(3^(-0,5))
f'(3^(-0,5))≠0 ed f'''(3^(-0,5))>0 allora abbiamo per x=3^(-0,5) un flesso obliquo ascendente.
f'(-(3^(-0,5)))≠0 ed f'''(-(3^(-0,5)))<0 allora abbiamo per x=-(3^(-0,5)) un flesso obliquo discendente.
Quindi i punti notevoli ai fini dello studio di questa funzione sono:
(0;0), che è un massimo.
(1;-1) che è un minimo.
(-1;-1) che è un minimo.
(-(3^(-0,5));-5/9) che è un flesso obliquo discendente.
(3^(-0,5);5/9) che è un flesso obliquo ascendente.
Volendo si può ancora notare che la funzione è pari, cioè che f(x)=f(-x).
Un metodo alternativo per la soluzione di questo esercizio è quello di studiare il segno della derivata prima e della derivata seconda, ma è più lungo. Questo è più "meccanico" e più rapido in questo caso.
1- siccome riesco ad individuare minimo, massimo e flesso solo tramite lo studio del segno della f'(x) e della f''(x) vuol dire che ho sbagliato lo studio del segno, visto che nel metodo da voi proposto si ottengono i risultati del testo. Mi potreste indicare gli errori dello studio del segno commessi, non riesco ad individuarli. Grazie, Martina.
Si, certamente, credo che il suo errore sia il seguente, da quanto apprendo dal procedimento di cui sopra:
Essendo la derivata prima
f'(x)=4x^3-4x
Nel risolvere la disequazione
4x^3-4x≥0
non posso semplificare la x, in quanto non ne conosco il segno e potrebbe essere nulla. Se fosse negativa dovrei cambiare il verso della disuguaglianza, se fosse nulla non potrei semplicemente dividere, in quanto contravverrei ai principî di equivalenza. Una nota aggiuntiva è il fatto che il punto (-1;3) non appartiene alla funzione. Forse si tratta un errore di calcolo (Noti che il segno davanti al termine -2x^2 è, per l'appunto, meno e che qualsiasi numero non nullo elevato al quadrato "diventa" positivo)
Ho dimenticato di riportare il secondo studio di funzione, che ora le propongo:
essendo g(x)=(x^2+1)^(-1) allora
g'(x)=(-2x)/(x^2+1)^2 quindi x=0 è un primo punto critico (di massimo, essendo g''(0)<0)
g''(x)=(6x^2-2)/((x^2+1)^3), dopo alcuni calcoli.
Qui è meglio studiare il segno. Il denominatore è una somma di quadrati elevata al cubo. Essendo tale è sempre positiva, pertanto è sufficiente studiare il segno del numeratore, risolvendo 6x^2-2≥0. Si ottiene x≤-(3^(-0.5)) v x≥(3^(-0.5))
Con opportune osservazioni da quanto emerge dallo studio del segno e dal calcolo della derivata prima per x= ±(3^(-0.5))
è chiaro che abbiamo:
Un massimo in (0;1)
Un flesso obliquo discendente in (-(3^(-0.5));(3/4))
Un flesso obliquo ascendente in ((3^(-0.5));(3/4)).
Cordiali Saluti.
Essendo la derivata prima
f'(x)=4x^3-4x
Nel risolvere la disequazione
4x^3-4x≥0
non posso semplificare la x, in quanto non ne conosco il segno e potrebbe essere nulla. Se fosse negativa dovrei cambiare il verso della disuguaglianza, se fosse nulla non potrei semplicemente dividere, in quanto contravverrei ai principî di equivalenza. Una nota aggiuntiva è il fatto che il punto (-1;3) non appartiene alla funzione. Forse si tratta un errore di calcolo (Noti che il segno davanti al termine -2x^2 è, per l'appunto, meno e che qualsiasi numero non nullo elevato al quadrato "diventa" positivo)
Ho dimenticato di riportare il secondo studio di funzione, che ora le propongo:
essendo g(x)=(x^2+1)^(-1) allora
g'(x)=(-2x)/(x^2+1)^2 quindi x=0 è un primo punto critico (di massimo, essendo g''(0)<0)
g''(x)=(6x^2-2)/((x^2+1)^3), dopo alcuni calcoli.
Qui è meglio studiare il segno. Il denominatore è una somma di quadrati elevata al cubo. Essendo tale è sempre positiva, pertanto è sufficiente studiare il segno del numeratore, risolvendo 6x^2-2≥0. Si ottiene x≤-(3^(-0.5)) v x≥(3^(-0.5))
Con opportune osservazioni da quanto emerge dallo studio del segno e dal calcolo della derivata prima per x= ±(3^(-0.5))
è chiaro che abbiamo:
Un massimo in (0;1)
Un flesso obliquo discendente in (-(3^(-0.5));(3/4))
Un flesso obliquo ascendente in ((3^(-0.5));(3/4)).
Cordiali Saluti.
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