Studio di funzioni complicate

[KatieP]

Ragazzi ho dei problemi nello studio della funzione (3x^2 + 6ln |x -1|)/2 ..non riesco a ricavare la positività ...
Poi, nella funzione y= x*arctgx ho risolto la derivata con il metodo grafico e mi verrebbe x = 0 come minimo ..ma nel grafico della funzione non mi risulti che sia minimo...forse ho sbagliato qualcosa..potete aiutarmi per favore? Grazie .

[@melia]

Inizio con la seconda funzione perché il problema è più semplice: il minimo in $(0,0)$ c'é, lo noti anche dallo studio del segno, infatti la funzione è sempre positiva, tranne in 0, punto in cui si annulla.

Per lo studio della positività della prima, sempre con il metodo grafico, viene $xbeta$ con $1

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[vict85]

Relativamente alla prima mi limito a considerazioni generali per semplificarla. La prima cosa che si deve osservare è che la divisione per 2 e la moltiplicazione per 3 non influiscono sulla positività. Puoi quindi limitarti allo studio di \(x^2+2\ln \lvert x-1\rvert\). La seconda osservazione è che \(x^2\) è sempre non-negativo. Bisogna quindi risolvere \(\ln (x-1)^2 = -x^2\). Banalmente \(x=0\) è una soluzione. L'altra è tra 1 e 2. Quest'ultima osservazione deriva da consoderazioni sulla positività del logaritmo e dallo studio delle derivate. Si può ridurre ulteriormente osservando che nel punto di intersezione l'ordinata deve avere un valore compreso tra -4 e -1. Si può procedere ulteriormente ma è piuttosto inutile.

[KatieP]

"@melia":Inizio con la seconda funzione perché il problema è più semplice: il minimo in $(0,0)$ c'é, lo noti anche dallo studio del segno, infatti la funzione è sempre positiva, tranne in 0, punto in cui si annulla.

Per lo studio della positività della prima, sempre con il metodo grafico, viene $xbeta$ con $1


Ma la funzione non è positiva per x > 0? Dal prodotto dei segni tra x e arctgx ottengo questo risultato

[KatieP]

Ragazzi, l'esercizio mi chiede anche di calcolare gli asintoti della funzione y= x*arctgx. Ho provato con un cambio di variabile per il limite notevole della tangente ma ottengo arctg(1/t) * 1/t per t che tende a 0.. E non riesco a risolverlo. Come fare?

[mazzarri1]

ciao Nereide!

Ti hanno preso alla sprovvista con un trucchetto.... non si tratta di asintoti verticali o orizzontali.... ma ci sono gli asintoti obliqui!!

Infatti come limiti all'infinito hai banalmente

$lim_(x->infty) y = lim_(x->infty) x arctg x = +infty$

$lim_(x->-infty) y = lim_(x->-infty) x arctg x = +infty$

Invece per gli asintoti obliqui... coefficienti angolari destro e sinistro:

$lim_(x->infty) y/x = lim_(x->infty) arctg (x) = pi/2$

$lim_(x->-infty) y/x = lim_(x->-infty) arctg (x) = -pi/2$

Termine noto:

$lim_(x->infty) (y-mx) = lim_(x->infty) (x arctg x - pi/2 x ) = lim_(x->infty) x (arctg x - pi/2) = ...$

sei capace ad andare avanti? Non so se quello che farei io è corretto... per cui temo di scriverti una cavolata... porterei la $x$ che ho raccolto al denominatore e utilizzerei De L'Hopital ma forse non è proprio il massimo...

cioè farei così:

$ = lim_(x->infty) (arctg x - pi/2)/(1/x) = lim_(x->infty) (1/(1+x^2))/(-1/x^2) = lim_(x->infty) - x^2 /(1+x^2) = -1$

se riesci a risolvere in altro modo meglio... dovrebbe venire -1 (radianti!!) e il tuo asintoto obliquo DESTRO dovrebbe essere

$y=pi/2 x -1$

ora fai tu il sinistro... dovrebbe venire uguale!! quindi asintoto obliquo sinistro:

$y=-pi/2 x -1$

Inoltre per rispondere a una domanda che hai posto prima... la tua funzione dovrebbe essere sempre positiva tranne che in $x=0$ dove hai un minimo

ciao!!

[KatieP]

"mazzarri":ciao Nereide!

Ti hanno preso alla sprovvista con un trucchetto.... non si tratta di asintoti verticali o orizzontali.... ma ci sono gli asintoti obliqui!!

Infatti come limiti all'infinito hai banalmente

$lim_(x->infty) y = lim_(x->infty) x arctg x = +infty$

$lim_(x->-infty) y = lim_(x->-infty) x arctg x = -infty$

Invece per gli asintoti obliqui... coefficienti angolari destro e sinistro:

$lim_(x->infty) y/x = lim_(x->infty) arctg (x) = pi/2$

$lim_(x->-infty) y/x = lim_(x->-infty) arctg (x) = -pi/2$

Termine noto:

$lim_(x->infty) (y-mx) = lim_(x->infty) (x arctg x - pi/2 x ) = lim_(x->infty) x (arctg x - pi/2) = ...$

sei capace ad andare avanti? Non so se quello che farei io è corretto... per cui temo di scriverti una cavolata... porterei la $x$ che ho raccolto al denominatore e utilizzerei De L'Hopital ma forse non è proprio il massimo...

cioè farei così:

$ = lim_(x->infty) (arctg x - pi/2)/(1/x) = lim_(x->infty) (1/(1+x^2))/(-1/x^2) = lim_(x->infty) - x^2 /(1+x^2) = -1$

se riesci a risolvere in altro modo meglio... dovrebbe venire -1 (radianti!!) e il tuo asintoto obliquo DESTRO dovrebbe essere

$y=pi/2 x -1$

ora fai tu il sinistro... dovrebbe venire uguale!! quindi asintoto obliquo sinistro:

$y=-pi/2 x -1$

Inoltre per rispondere a una domanda che hai posto prima... la tua funzione dovrebbe essere sempre positiva tranne che in $x=0$ dove hai un minimo

ciao!!

Tutto molto chiaro grazie ! Mi rimane soltanto un dubbio sullo studio di questa funzione ..non riesco a capire perché è sempre positiva .. Ho posto i due fattori maggiori di 0 . Quindi ho fatto il prodotto dei segni tra x > 0 e arctgx >0 (che è di nuovo x > 0) e ottengo x > 0. Sbaglio qualcosa ? :/

[mazzarri1]

Allora... la funzione è $y=x arctg x$... quindi è il prodotto di due termini... che è positivo se sono entrambi positivi o entrambi negativi.

se conosci come è fatta la funzione "arcotangente" saprai che se $x>0$ allora anche $arctg x > 0$... se $x<0$ allora anche $arctg x < 0$... lo capisci solo se conosci il grafico dell'arcotangente... quindi $y$ che è il prodotto delle due è sempre positiva!! (tranne nel punto $O(0,0)$ dove è nulla)

allego il grafico della funzione

Anzi... sarebbe cosa buona e giusta e il tuo professore ne sarebbe felice se dimostrassi che trattasi di funzione PARI... provaci!

[KatieP]

È vero, grazie !