Studio di funzione logaritma fratta

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto con questo esercizio.

Studiare e si rappresenti graficamente la seguente funzione:

[math]f(x)= log\, \, \frac{e^{x}+1}{e^{x}-1}[/math]

ho risolto in questo modo.

Il dominio della funzione è:

[math]\left \{ x\in \mathbb{R}: x> 0 \right \}[/math]

ora non so come continuare...
se mi potete aiutare..
grazie

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := \log\left(\frac{e^x + 1}{e^x - 1}\right)\\[/math]

essa presenta insieme di definizione

[math]\text{dom}[f] = \left\{ x \in \mathbb{R} : x > 0 \right\}[/math]

quindi il proprio grafico non interseca l'asse delle ordinate e dato che

[math]f(x) = 0 \; \Rightarrow \; \not\exists \, x \in \text{dom}[f][/math]

il grafico di

[math]f\\[/math]

non interseca nemmeno l'asse delle ascisse.

Per quanto concerne il segno di

[math]f\\[/math]

, si ha

[math]f(x) > 0 \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \text{dom}[f] \; , \\[/math]

quindi

[math]f[/math]

è non negativa per qualsiasi

[math]x\\[/math]

reale positivo.

Passando allo studio di

[math]f\\[/math]

ai limiti, si ha

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\,, \; \; \; \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 \end{aligned}\\[/math]

da cui segue che

[math]x = 0[/math]

e

[math]y = 0[/math]

sono rispettivamente
asintoto verticale (sinistro) e asintoto orizzontale per

[math]f\\[/math]

.

È il momento quindi di studiare il segno di

[math]f'[/math]

in

[math]\text{dom}[f]\\[/math]

:

[math]f'(x) = \frac{2\,e^x}{\left(1 + e^x\right)\left(1 - e^x\right)} \ge 0 \; \Rightarrow \; \not\exists \, x \in \text{dom}[f] \\[/math]

da cui segue che

[math]f[/math]

decresce per ogni

[math]x > 0\\[/math]

.

Per quanto concerne lo studio del segno di

[math]f''[/math]

in

[math]\text{dom}[f]\\[/math]

:

[math]f''(x) = \frac{2\,e^x\left(1 + e^{2x}\right)}{\left(1 + e^x\right)^2\left(1 - e^x\right)^2} \ge 0 \; \Rightarrow \; \forall\,x \in \text{dom}[f]\\[/math]

da cui segue che

[math]f[/math]

è convessa per qualsiasi

[math]x > 0\\[/math]

.

In conclusione, alla luce dello studio di funzione fatto, il grafico di

[math]f[/math]

è

Con questo direi che è davvero tutto. ;)

[insule23]

grazie mille :-)