Studio di funzione goniometrica-segno della derivata seconda.
Salve,
Un esercizio richiede lo studio della funzione $ f(x)=(sen(x)+cos(x))/(sen(2x)) $
Facendo un po' di conti ottengo l'equazione della derivata prima:
$ f'(x)=((sen(x)-cos(x))*(2+sen(2x)))/((sen(2x))^2) $
E quella della derivata seconda:
$ f''(x)=4*((sen(x))^5+(cos(x))^5+(sen(x))^3+(cos(x))^3)/((sen(2x))^3) $
Come posso studiare efficacemente il segno della derivata seconda senza ricorrere all'elaboratore ("a mano"), sempre che sia possibile?
(Mi basterebbe una linea guida, una spiegazione, anche se non è da escludere che possa aver sbagliato qualcosa nel calcolare le derivate di f(x)).
Un esercizio richiede lo studio della funzione $ f(x)=(sen(x)+cos(x))/(sen(2x)) $
Facendo un po' di conti ottengo l'equazione della derivata prima:
$ f'(x)=((sen(x)-cos(x))*(2+sen(2x)))/((sen(2x))^2) $
E quella della derivata seconda:
$ f''(x)=4*((sen(x))^5+(cos(x))^5+(sen(x))^3+(cos(x))^3)/((sen(2x))^3) $
Come posso studiare efficacemente il segno della derivata seconda senza ricorrere all'elaboratore ("a mano"), sempre che sia possibile?
(Mi basterebbe una linea guida, una spiegazione, anche se non è da escludere che possa aver sbagliato qualcosa nel calcolare le derivate di f(x)).
Risposte
Se non vuoi ricorrere alle derivate per studiare quella funzione puoi anche fare così ...
Prima di tutto il C.E. che è $x!=(kpi)/2$ e già questo ti dice che in quei punti probabilmente ci sono asintoti verticali ...
Poi è una funzione periodica di periodo $2pi$ quindi ti basterà studiarla in quell'intervallo ...
Il numeratore è positivo nel primo quadrante e negativo nel terzo mentre nel secondo passa da positivo a negativo a "metà angolo" e viceversa nel quarto quadrante; inoltre nel primo quadrante assume valori che partono da $1$ arrivano al massimo di $sqrt(2)/2$ a "metà angolo" (ovvero $pi/4$) per poi ridiscendere a $1$ (all'opposto nel terzo quadrante); nel secondo quadrante i valori calano da $1$ a $-1$ passando per zero a "metà angolo" e viceversa nel quarto quadrante.
Il denominatore si comporta come il "normale" seno ma più velocemente ovvero è positivo nel primo quadrante (da zero a uno per tornare a zero), negativo nel secondo (da zero a $-1$ per poi tornare a zero) e così via ...
Con queste informazioni puoi ricostruire l'andamento della funzione (a colpi di intervalli ampi $pi/4$) ...
Cordialmente, Alex
Prima di tutto il C.E. che è $x!=(kpi)/2$ e già questo ti dice che in quei punti probabilmente ci sono asintoti verticali ...
Poi è una funzione periodica di periodo $2pi$ quindi ti basterà studiarla in quell'intervallo ...
Il numeratore è positivo nel primo quadrante e negativo nel terzo mentre nel secondo passa da positivo a negativo a "metà angolo" e viceversa nel quarto quadrante; inoltre nel primo quadrante assume valori che partono da $1$ arrivano al massimo di $sqrt(2)/2$ a "metà angolo" (ovvero $pi/4$) per poi ridiscendere a $1$ (all'opposto nel terzo quadrante); nel secondo quadrante i valori calano da $1$ a $-1$ passando per zero a "metà angolo" e viceversa nel quarto quadrante.
Il denominatore si comporta come il "normale" seno ma più velocemente ovvero è positivo nel primo quadrante (da zero a uno per tornare a zero), negativo nel secondo (da zero a $-1$ per poi tornare a zero) e così via ...
Con queste informazioni puoi ricostruire l'andamento della funzione (a colpi di intervalli ampi $pi/4$) ...
Cordialmente, Alex
Derivare quella robaccia e, soprattutto, studiarne il segno è impresa in cui non mi cimento: son certo che sbaglierei almeno qualche segno.
Volendo procedere in maniera più semplice e sicura, basta notare che la funzione non viene modificata dallo scambio di $ sin(x) $ con $ cos(x) $, presenta quindi simmetria pari rispetto agli angoli in cui le due funzioni assumono il medesimo valore.
Con una traslazione in uno di questi angoli, ad esempio sostituendo $ x -> t+pi/4 $, le cose si semplificano notevolmente.
Ciao
Volendo procedere in maniera più semplice e sicura, basta notare che la funzione non viene modificata dallo scambio di $ sin(x) $ con $ cos(x) $, presenta quindi simmetria pari rispetto agli angoli in cui le due funzioni assumono il medesimo valore.
Con una traslazione in uno di questi angoli, ad esempio sostituendo $ x -> t+pi/4 $, le cose si semplificano notevolmente.
Ciao
Bene. Grazie ad entrambi.
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