Studio di funzione (200944)

[drynnn]

Ciao!! Sto provando a risolvere un esercizio sullo studio di funzione, i primi punti del problema li ho risolti, mi sono bloccata sulla parte degli asintoti.
La funzione è

x^2+1/rad(x^2-1)

per determinare gli asintoti devo calcolare i limiti sugli estremi del dominio (il dominio dovrebbe essere ]-inf;-1+1;+inf[ giusto?) e i limiti per + o - inf, il problema è che non riesco a calcolare i limiti, mi esce come risultato la forma indeterminata 0/0 e da lì non mi muovo più. Potreste aiutarmi? Grazie!!

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/math]

definita da

[math]f(x) := \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2 - 1}}[/math]

, il cui
dominio è pari a

[math]dom[f] = \left\{x \in \mathbb{R} : x < - 1, \; x > 1\right\}[/math]

, presenta

[math]\small \begin{aligned} \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to +1^+} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \end{aligned}[/math]

: in nessun
dei quattro limiti vi è traccia di forme indeterminate!! Da ciò consegue che
le rette di equazione

[math]y = \pm 1[/math]

sono asintoti verticali per

[math]f[/math]

, mentre non
vi sono asintoti orizzontali. A te andare a caccia di asintoti obliqui. ;)

P.S. notando che

[math]f(-x) = f(x)[/math]

significa che

[math]f[/math]

è una funzione pari;
quindi è sufficiente studiare come si comporta per

[math]x > 0[/math]

(in questo caso,
per

[math]x > 1[/math]

) e poi specchiare il tutto rispetto all'asse delle ordinate.

[drynnn]

Ok, sono riuscita a trovare l'errore per cui mi veniva 0/0 e ho capito anche quello che mi hai spiegato, grazie!! Scusa, siccome sto provando a risolvere un'altro esercizio simile potrei chiedere un'altra cosa? Nella funzione

x+3/rad(2)+x per x

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := \begin{cases} \frac{x + 3}{\sqrt{2} + x} & se \; x < - \sqrt{2} \\ x\,\sqrt{2 - x^2} & se \; - \sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} \\ \frac{x - 3}{\sqrt{2} - x} & se \; x > \sqrt{2}\end{cases}\\[/math]

,

il proprio dominio è dato da

[math]\begin{cases}\sqrt{2}+x\ne 0 \\ x < - \sqrt{2} \end{cases} \; \cup \; \begin{cases}2 - x^2 \ge 0 \\ - \sqrt{2} \le x \le \sqrt{2} \end{cases} \; \cup \; \begin{cases}\sqrt{2} - x\ne 0 \\ x > \sqrt{2} \end{cases}\\[/math]

che porge

[math]dom[f] = (-\infty,\,-\sqrt{2}) \,\cup \, [-\sqrt{2},\,\sqrt{2}] \, \cup \, (\sqrt{2},\,+\infty) = (-\infty,\,+\infty) [/math]

. :)