Studio di Funzione

[xAle2]

Salve ragazzi ho da studiare questa funzione $ tanx(1+tanx) $
Ho dei problemi quando vado a studiare il segno della derivata prima che è
$ sec^2x(2tanx+1)>=0 $
Le mie considerazioni sono: la secante non può mai essere uguale a 0 dunque mi concentro sul secondo fattore. La tangente è uguale a $-1/2$ a circa 153 e 333 gradi. Quindi sarà maggiore di zero per $ 153°

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Risposte

donald_zeka

16 gen 2015, 20:23

$tanx > -1/2$

$arctan(-1/2)+kpi < x < pi/2+kpi$

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mazzarri1

16 gen 2015, 20:57

provo a riscriverla senza la secante... non so perchè ma non mi è mai piaciuta

$f'(x)=(1+2tgx)/(cos^2(x))$

adesso al denominatore hai quantità sempre positiva (a meno che in $pi/2$ che però dovresti averlo eliminato dal dominio). resta da studiare il numeratore

dato che la funzione "tangente" è periodica con periodo $pi$ consideriamo l'intervallo $[-pi/2,pi/2]$

poniamo $1+2tg(x)>0$ cioè $tg(x)>(-1/2)$

la funzione "tangente" assume il valore di $-1/2$ all'incirca a -26 gradi e quindi per risolvere la disequazione a questo punto fai come ti suggerisce Vulplaisir...

se fai il disegno della tangente te ne accorgi subito di dove vale $-1/2$ e quindi di dove è maggiore di tale valore!!

ciao

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minomic

16 gen 2015, 21:00

"xAle":La tangente è uguale a $-1/2$ a circa 153 e 333 gradi. Quindi sarà maggiore di zero per $ 153°
Non ti ritrovi perché in $pi/2$ e in $3/2pi$ la tangente ha due istanti di forte discontinuità. In particolare "passa da $+oo$ a $-oo$ e viceversa". L'ho detto malissimo, cioè in modo non rigoroso, ma spero che serva a rendere chiaro il concetto. Quindi, per risolvere disequazioni come $tan x > -1/2$ probabilmente il metodo più semplice è imparare il grafico della tangente (che è molto semplice) e poi ragionare sul disegno.

In questo caso abbiamo
\[
0+k\pi\le x < \frac{\pi}{2}+k\pi \vee 153^o+k\pi < x \le \pi+k\pi
\] a cui poi dovremmo sommare le periodicità $k pi$.
Se vogliamo scrivere un po' meglio quel $153°$ possiamo sostituirlo con $pi - arctan(1/2)$.

Di seguito un grafico che dovrebbe chiarire tutto. Ho evidenziato in giallo i tratti del grafico della tangente per i quali è soddisfatta la disequazione $tan x > -1/2$.



P.S. Questa soluzione è ovviamente equivalente a quella proposta da Vulplasir. La differenza sta nel fatto che lui ha considerato l'intervallo $(-pi/2, pi/2)$ e ha così evitato di introdurre la discontinuità in $pi/2$. Ho scritto questa soluzione solo perché non so quale abbiate visto a lezione. In questo modo le hai entrambe...

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xAle2

16 gen 2015, 21:18

Grazie a tutti e tre, finalmente ho fatto chiarezza su un argomento per me ancora un po troppo ostico: la goniometria... In ogni caso la mia difficoltà era legata al fatto di voler rappresentare il grafico considerando il periodo $[0 ;pi]$. Sicuramente il metodo grafico è quello che più si addice al mio "stile" ed è anche più facile da ricordare

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mazzarri1

16 gen 2015, 21:41

xAle, con la tangente è più semplice considerare $[-pi/2,pi/2]$ prova a usare il metodo grafico in quell'intervallo ciao!

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[donald_zeka]

$tanx > -1/2$

$arctan(-1/2)+kpi < x < pi/2+kpi$

[mazzarri1]

provo a riscriverla senza la secante... non so perchè ma non mi è mai piaciuta

$f'(x)=(1+2tgx)/(cos^2(x))$

adesso al denominatore hai quantità sempre positiva (a meno che in $pi/2$ che però dovresti averlo eliminato dal dominio). resta da studiare il numeratore

dato che la funzione "tangente" è periodica con periodo $pi$ consideriamo l'intervallo $[-pi/2,pi/2]$

poniamo $1+2tg(x)>0$ cioè $tg(x)>(-1/2)$

la funzione "tangente" assume il valore di $-1/2$ all'incirca a -26 gradi e quindi per risolvere la disequazione a questo punto fai come ti suggerisce Vulplaisir...

se fai il disegno della tangente te ne accorgi subito di dove vale $-1/2$ e quindi di dove è maggiore di tale valore!!

ciao

[minomic]

"xAle":La tangente è uguale a $-1/2$ a circa 153 e 333 gradi. Quindi sarà maggiore di zero per $ 153°
Non ti ritrovi perché in $pi/2$ e in $3/2pi$ la tangente ha due istanti di forte discontinuità. In particolare "passa da $+oo$ a $-oo$ e viceversa". L'ho detto malissimo, cioè in modo non rigoroso, ma spero che serva a rendere chiaro il concetto. Quindi, per risolvere disequazioni come $tan x > -1/2$ probabilmente il metodo più semplice è imparare il grafico della tangente (che è molto semplice) e poi ragionare sul disegno.

In questo caso abbiamo
\[
0+k\pi\le x < \frac{\pi}{2}+k\pi \vee 153^o+k\pi < x \le \pi+k\pi
\] a cui poi dovremmo sommare le periodicità $k pi$.
Se vogliamo scrivere un po' meglio quel $153°$ possiamo sostituirlo con $pi - arctan(1/2)$.

Di seguito un grafico che dovrebbe chiarire tutto. Ho evidenziato in giallo i tratti del grafico della tangente per i quali è soddisfatta la disequazione $tan x > -1/2$.



P.S. Questa soluzione è ovviamente equivalente a quella proposta da Vulplasir. La differenza sta nel fatto che lui ha considerato l'intervallo $(-pi/2, pi/2)$ e ha così evitato di introdurre la discontinuità in $pi/2$. Ho scritto questa soluzione solo perché non so quale abbiate visto a lezione. In questo modo le hai entrambe...

[xAle2]

Grazie a tutti e tre, finalmente ho fatto chiarezza su un argomento per me ancora un po troppo ostico: la goniometria... In ogni caso la mia difficoltà era legata al fatto di voler rappresentare il grafico considerando il periodo $[0 ;pi]$. Sicuramente il metodo grafico è quello che più si addice al mio "stile" ed è anche più facile da ricordare

[mazzarri1]

xAle, con la tangente è più semplice considerare $[-pi/2,pi/2]$ prova a usare il metodo grafico in quell'intervallo ciao!