Studio di coniche
Ciao a tutti! Sono nuovo qua =) Vengo subito al dunque...tempo fa a scuola (4 superiore) abbiamo studiato l'equazione generale di una conica:
$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$
l'abbiamo puoi ruotata per eliminare il termine rettangolare con la relazione $tg(alfa) = 2b/c-a$ dove alfa è l'angolo di rotazione.
Mi domandavo se fosse possibile effettuare al posto di una rotazione una combinazione di simmetrie assiali, con assi non paralleli. Avete dei consigli o dei suggerimenti per trovare qualcosa di interessante?
[/tex]
$ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0$
l'abbiamo puoi ruotata per eliminare il termine rettangolare con la relazione $tg(alfa) = 2b/c-a$ dove alfa è l'angolo di rotazione.
Mi domandavo se fosse possibile effettuare al posto di una rotazione una combinazione di simmetrie assiali, con assi non paralleli. Avete dei consigli o dei suggerimenti per trovare qualcosa di interessante?
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Risposte
Io non ho capito il tuo obiettivo qual è? Che cosa ci vuoi fare con quella equazione?
"Gianmarco Odorizzi":
Mi domandavo se fosse possibile effettuare al posto di una rotazione una combinazione di simmetrie assiali, con assi non paralleli. Avete dei consigli o dei suggerimenti per trovare qualcosa di interessante?
Certo, ogni rotazione è generata dalla composizione di due simmetrie assiali con assi che si intersecano nel centro di rotazione e formano un angolo che sia la metà di quello di rotazione. Il problema è che è più semplice applicare direttamente la rotazione piuttosto di due simmetrie di cui almeno una non parallela agli assi cartesiano.
Grazie ad entrambi! Certo che è più semplice, ma mi domandavo se ci fosse una formula affine a quella di rotazione per ruotare, appunto, la conica con due simmetrie assiali... insomma mi interesserebbe trovare una sorta di "dimostrazione" per arrivare alla formula... avete dei consigli per partire? Grazie =)
ho pensato di euguagliare la formula di rotazione con la formula dell'angolo fra due rette (gli assi), dove l'angolo fra le due rette è metà angolo di rotazione...o sbaglio ? 
nessuno?
Perdona i miei limiti ma io continuo a non capire il problema: come detto già da @melia, una rotazione è un prodotto di simmetrie, se tu mi applichi prima una simmetria e poi un'altra ottieni la rotazione di cui vuoi liberarti, quindi stai facendo una operazione che è ciclica e ti riporta, infine, al punto di partenza. O vuoi una dimostrazione, in generale, del fatto che un prodotto di simmetrie è una rotazione?
...mmmm... ma cosi' facendo on è possibile trovare una formula che al posto dell'angolo di rotazione abbia i parametri (m ed n) ovvero i coefficienti dei due assi di simmetria?
Non sono sicuro che la cosa possa esserti utile, però dati i due coefficienti angolari di due rette, puoi trovare l'angolo formato dalle due rette con la formula $tan(\alpha)=\frac{|m-n|}{1+m*n}$.
Mi associo inoltre alle perplessità di WiZaRd circa il tuo obiettivo
Mi associo inoltre alle perplessità di WiZaRd circa il tuo obiettivo
esatto... allora so che
$tan(2 TETA)=2b/(c-a)$
e l'angolo fra i due assi è:
$tan(alfa+beta)=$ quello che hai scritto tu
dove alfa+ beta = teta/2
Allora mi domando se, utilizzando formule di duplicazione e bisezione, potrei arrivare ad euguagliare le du espressioni. Al mio insegnante pareva interessante, ma ha detto che probabilmente è da aggiustare, in quanto la formula dell'angolo fra due rette è riferita all'asse x....o qualcosa del genere...resto in attesa di illuminazioni.
Non so come spiegarlo, ci riprovo: vorrei utilizzare una formula affine a $tg(2alfa) = 2b/(c-a)$
ma utilizzando una cominazione di simm assiali, e quindi avengo un legame diretto fra coefficienti della conica e coefficienti dei due assi
$tan(2 TETA)=2b/(c-a)$
e l'angolo fra i due assi è:
$tan(alfa+beta)=$ quello che hai scritto tu
dove alfa+ beta = teta/2
Allora mi domando se, utilizzando formule di duplicazione e bisezione, potrei arrivare ad euguagliare le du espressioni. Al mio insegnante pareva interessante, ma ha detto che probabilmente è da aggiustare, in quanto la formula dell'angolo fra due rette è riferita all'asse x....o qualcosa del genere...resto in attesa di illuminazioni.
Non so come spiegarlo, ci riprovo: vorrei utilizzare una formula affine a $tg(2alfa) = 2b/(c-a)$
ma utilizzando una cominazione di simm assiali, e quindi avengo un legame diretto fra coefficienti della conica e coefficienti dei due assi
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