Studio della serie

[insule23]

salve avrei bisogno di aiuto con lo studio della convergenza della serie:

[math]\sum_{n=1}^{\infty } sin(n!)2^{-n^2-log(n)+cos (n)}[/math]

grazie

[rino6999]

prima di tutto,la serie non è a termini positivi ; come ben sai a noi invece fa comodo trattare con serie di questo tipo per poter applicare i vari criteri di convergenza
consideriamo allora la serie di termine generale

[math]|sin(n!)|2^{-n^2-log(n)-cos(n)}[/math]

tenendo conto del fatto che

[math]|sinx|\leq1[/math]

e guardando bene l'esponente,la serie è maggiorata dalla serie di termine generale

[math]2^{-n^2}[/math]

non dovrebbe risultarti difficile verificare, con il criterio del rapporto, che questa serie è convergente
quindi,la tua serie di partenza non solo converge semplicemente ma anche assolutamente

[insule23]

scusa ma non ho capito...
mi potresti dire cosa maggioro e cosa devo usare il criterio del rapporto...
inoltre che fine fa il log e il cos dell'esponenziale..
ti prego fammi sapere..
grazie..

[rino6999]

la maggiorazione serve proprio ad avere a che fare una serie con un termine generale più semplice
spero che non ti sfugga che
[math]|sin(n!)|2^{-n^2-logn-cosn}

[insule23]

si li conosco questi due criteri.. ma non riesco ad applicarli...
inoltre come mai si ha
[math]|sin(n!)|2^{-n^2-logn-cosn}

[rino6999]

io ti voglio aiutare però tu cerca di essere un po' più ricettiva
come ho già detto,vogliamo arrivare ad una serie con un termine generale più semplice possibile
è vera la seconda disuguaglianza,ma è vera anche la prima
quindi non parliamo di log e cos scomparsi(non stiamo facendo un gioco di prestigio) ma diciamo più correttamente che ci fa più comodo usare la prima disuguaglianza
sei d'accordo che,da un certo n in poi,si ha
[math]2^{-n^2-logn-cosn}

[insule23]

ho provato a farlo...correggimi se è sbagliato...
Calcoliamo

[math]a_{n+1}[/math]

[math]a_{n+1}=2^{-\left (n+1 \right )^2}=2^{-n^2-2n-2}[/math]

Passiamo ora al calcolo del limite

[math]\lim_{n \to +\infty }\left ( \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right )=[/math]

[math]\lim_{n \to +\infty }\left ( \frac{2^{-n^2-2n-2}}{2^{-n^2}} \right )=[/math]

[math]\lim_{n \to +\infty }2^{-2\left (n+1 \right )}=[/math]

[math]\lim_{n \to +\infty }2 ^{\lim_{n \to +\infty }{-2\left (n+1 \right )}}=[/math]

[math]=2^{-\infty }=\frac{1}{2}^{\infty }=0< 1[/math]

La serie per il criterio del rapporto diverge, e quindi diverge anche la serie data...
è giusto.. fammi sapere.. grazie

[rino6999]

insule ,hai fatto tutti i calcoli bene e poi mi sbagli la conclusione ?
il teorema dice esattamente il contrario : la serie converge e quindi converge anche la serie data