Studio del segno di una derivata
Buondi ragazzi 
devo studiare il segno della derivata della funzione $ f(x)=e^x/x $ che è $ f'(x)=(e^x(x-1))/x^2 $ ma ho po di problemi sopratutto con l'isolamento della x... quello che ho fatto è stato porre $ (e^x(x-1))/x^2 >= 0 $ e quindi $ e^x(x-1) >= 0 $ da qui in poi è diventato $ e^x >= 0 $..fino a qui è giusto? Ora so che dovrei applicare il logaritmo per isolare la x ma non sono sicura di come fare..
devo studiare il segno della derivata della funzione $ f(x)=e^x/x $ che è $ f'(x)=(e^x(x-1))/x^2 $ ma ho po di problemi sopratutto con l'isolamento della x... quello che ho fatto è stato porre $ (e^x(x-1))/x^2 >= 0 $ e quindi $ e^x(x-1) >= 0 $ da qui in poi è diventato $ e^x >= 0 $..fino a qui è giusto? Ora so che dovrei applicare il logaritmo per isolare la x ma non sono sicura di come fare..
Risposte
La funzione esponenziale è sempre positiva purchè esista, ed $e^x$ esiste per ogni $x$ perchè $e>0$.
Nel tuo caso devi solo imporre $x-1>=0$ e $x!=0$, da cui ottieni $x>=1$.
Nel tuo caso devi solo imporre $x-1>=0$ e $x!=0$, da cui ottieni $x>=1$.
Scusami ma perchè $ x!= 0 $ ? Questo non è lo studio delle condizioni d'esistenza?
Ho considerato solo la disequazione:
$(e^x(x-1))/x^2>=0$
$(e^x(x-1))/x^2>=0$
Dato che il target finale è trovare dove la funzione di partenza e positiva e dove e negativa, pensavo di dover risolvere la disequazione
Allora a che ti serve il segno della derivata? basta imporre:
$e^x/x>0$
che, essendo il numeratore sempre positivo, è soddisfatta per ... dimmelo tu.
$e^x/x>0$
che, essendo il numeratore sempre positivo, è soddisfatta per ... dimmelo tu.
Perdonami, intendevo crescente e decrescente. Per fare questo si studia il segno della derivata prima, giusto? Il mio problema e che con questa specifica funzione non so se il mio procedimento e giusto, e se anche fosse poi come continuare...
Mi sembra di averti già indicato dove la derivata prima è positiva. Rivediamolo:
$f'(x)>=0$ => $(e^x(x-1))/x^2>=0$
$e^x>0$ per ogni x
il denominatore è sempre positivo nel dominio
rimane $x-1>=0$ che puoi calcolare tu.
$f'(x)>=0$ => $(e^x(x-1))/x^2>=0$
$e^x>0$ per ogni x
il denominatore è sempre positivo nel dominio
rimane $x-1>=0$ che puoi calcolare tu.
Ti ringrazio tanto, avevo già capito con la tua prima risposta ^^
la mia unica perplessità era riguardo alla condizione $ x!= 0 $ che mi avevi indicato
essa serve ad evitare che il denominatore si annulli, giusto? Se è cosi il resto e chiarissimo
la mia unica perplessità era riguardo alla condizione $ x!= 0 $ che mi avevi indicato
essa serve ad evitare che il denominatore si annulli, giusto? Se è cosi il resto e chiarissimo
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