Studio del segno di funzione Y=lnx-x

[Hellonyhello]

Non so da dove partire con lo studio del segno di questa funzione:
Y=lnx-x
Devo considerare lnx e -x come fattori separati oppure tenerli assieme?
Grazie mille

[gugo82]

Concavità del logaritmo.

[marcorossi94]

Come alternativa potresti calcolare $y'=1/x-1$ e scoprire che $y$ è crescente prima dell'1 e decrescente dopo. Quindi in $x=1$ c'è un max che vale $ln(1)-1=-1$... Quindi...

[gugo82]

"gugo82":Concavità del logaritmo.

Espandi un po' la risposta, così da mostrare come una proprietà geometrica può essere utile per fini di calcolo.

Sappiamo che $y=log x$ è concava (perché $y^{\prime \prime }=-1/x^2 <0$) e ciò vuol dire che la suo grafico giace tutto al disotto di ogni retta ad esso tangente.
In particolare, esso giace al disotto della retta di equazione $y=x-1$, che è la tangente alla curva $y=log x$ nel punto $(1,0)$; conseguentemente, si ha:
\[
\log x \leq x-1 \]
per ogni $x>0$ e perciò la funzione $y=log x -x$ è ovunque negativa per $x>0$.